Aides au DS4

TS3 version 2011

exercice 1 sur l’espace
L’espace est rapporté à un repère orthonormal O, ı, , k . Soit (P) le plan d’équation : 3x + y − z − 1 = 0 et (D) la droite dont une représentation paramétrique est   x = −t + 1 y = 2t où t désigne un nombre réel.  z = −t + 2 (a) Le point C(1 ; 3 ; 2) appartient-il au plan (P) ? Justifier. (b) Démontrer que la droite (D) est incluse dans le plan (P). 2. Soit (Q) le plan passant par le point C et orthogonal à la droite (D). (a) Déterminer une équation cartésienne du plan (Q). (b) Calculer les coordonnées du point I, point d’intersection du plan (Q) et de la droite (D). √ (c) Montrer que CI = 3. 3. Soit t un nombre réel et Mt le point de la droite (D) de coordonnées (−t + 1 ; 2t ; −t + 2). (b) Montrer que CI est la valeur minimale de CMt lorsque t décrit l’ensemble des nombres réels. (a) Vérifier que pour tout nombre réel t, CMt2 = 6t2 − 12t + 9.

1.

corrigé
1. (a) C(1 ; 3 ; 2)∈ (P) ⇐⇒ 3 × 1 + 3 − 2 − 1 = 0 ⇐⇒ 3 = 0, faux. Le point C n’appartient pas au plan (P). (b) Soit M un point de (D). M ∈ (P) ⇐⇒ 3(−t + 1) + 2t − (−t + 2) − 1 = 0 ⇐⇒ −3t + 3 + 2t + t − 2 − 1 = 0, vrai quel que soit t. Tout point de (D) est un point de (P), donc la droite (D) est incluse dans le plan (P). 2. (a) Un vecteur normal au plan (Q) est un vecteur directeur de (D) ; d’après la représentation paramétrique les coordonnées d’un vecteur directeur de (D) sont (−1 ; 2 ; −1). Une équation du plan (Q) est donc : M (x ; y ; z) ∈ (Q) ⇐⇒ −x + 2y − z + d = 0. Or C(1 ; 3 ; 2)∈ (Q) ⇐⇒ −1 + 2 × 3 − 2 + d = 0 ⇐⇒ 3 + d = 0 ⇐⇒ d = −3. Conclusion : M (x ; y ; z) ∈ (Q) ⇐⇒ −x + 2y − z − 3 = 0.

(b) Soit M (−t + 1 ; 2t ; −t + 2) un point de (D). M ∈ (Q) ⇐⇒ −(−t + 1) + 2 × 2t − (−t + 2) − 3 = 0 ⇐⇒ t − 1 + 4t + t − 2 − 3 = 0 ⇐⇒ 6t − 6 = 0 ⇐⇒ t = 1. Donc le point commun I à (Q) et à la droite (D) a pour coordonnées (−1 + 1 ; 2 × 1 ; −1 + 2) = (0 ; 2 ; 1). − → (c) On a CI (−1 ; −1 ; −1). − − → → Donc CI2 = CI · CI = 1 + 1 + 1 = 3. √ Conclusion