Lundi 21 Février 2011. Mathématiques. 1S1 et 1S2. 3 h. Calculatrice autorisée.

EXERCICE 1. 6 points. f est la fonction définie sur IR par f(x) = sin x (1 + cos x). →→ Cf est la représentation graphique de la fonction f dans un repère orthogonal (O ; i , j ). 1. a. Montrer que f est périodique de période 2π. b. f est−elle paire ou impaire ? c. Expliquer pourquoi on peut restreindre l’étude de f à l’intervalle [0 ; π]. 2. Montrer que la fonction dérivée f’ de f est définie sur IR par f’(x) = 2 cos²x + cos x − 1. 3. Etude du signe de f’(x) sur [0 ; π] : a. Factoriser le polynôme 2X² + X − 1 b. En déduire une factorisation de f’(x). c. Déterminer les valeurs qui annulent f’(x) sur [0 ; π]. d. Etudier le signe de f’(x) sur [0 ; π]. e. Dresser le tableau de variation de f sur [0 ; π]. 4. Déterminer, sur l’intervalle [0 ; π], les abscisses des points d’intersection de Cf avec l’axe (O ; i ). 5. a. Quelle est l’équation de la tangente (T) à Cf au point A(π ; 0) ? c. Quelle est l’équation de la tangente (T’) à Cf au point O ?
→

6. Construire Cf sur [−2π ; 2π]. (ne pas oublier de construire les tangentes remarquables).

EXERCICE 2. 7 points  OAB est un triangle isocèle tel que OA = OB = 1 et AO B = 2α (radians). H est le pied de la hauteur issue de O et K celui de la hauteur issue de A. 1. Calculer AH en fonction de α. En déduire AB (en fonction de α ). 2. Calculer AK (en fonction de α ) a. En utilisant le triangle OAK.  b. En utilisant le triangle AKB, après avoir calculé AB O en fonction de α. c. En déduire l 'expression de sin (2α) en fonction de sin α et cos α. 3. Calculer, (en fonction de α) a. OK. b. KB en utilisant le triangle AKB. c. En déduire l'expression de cos (2α) en fonction de sin α. d. En déduire l’expression de cos (2α) en fonction de cos α. 4. Vérifier les formules obtenues avec 2α = π/3.

suite au dos …..

EXERCICE 3. 3 points Connaissances requises : (à recopier et compléter …)
cos(π/6) = …   sin(π/6) = … cos(π/3) = …   sin(π/3) = …