1S exercice type bac

Pages: 10 (2291 mots) Publié le: 16 mars 2013
Lundi 21 Février 2011. Mathématiques. 1S1 et 1S2. 3 h. Calculatrice autorisée.

EXERCICE 1. 6 points. f est la fonction définie sur IR par f(x) = sin x (1 + cos x). →→ Cf est la représentation graphique de la fonction f dans un repère orthogonal (O ; i , j ). 1. a. Montrer que f est périodique de période 2π. b. f est−elle paire ou impaire ? c. Expliquer pourquoi on peut restreindre l’étude de fà l’intervalle [0 ; π]. 2. Montrer que la fonction dérivée f’ de f est définie sur IR par f’(x) = 2 cos²x + cos x − 1. 3. Etude du signe de f’(x) sur [0 ; π] : a. Factoriser le polynôme 2X² + X − 1 b. En déduire une factorisation de f’(x). c. Déterminer les valeurs qui annulent f’(x) sur [0 ; π]. d. Etudier le signe de f’(x) sur [0 ; π]. e. Dresser le tableau de variation de f sur [0 ; π]. 4.Déterminer, sur l’intervalle [0 ; π], les abscisses des points d’intersection de Cf avec l’axe (O ; i ). 5. a. Quelle est l’équation de la tangente (T) à Cf au point A(π ; 0) ? c. Quelle est l’équation de la tangente (T’) à Cf au point O ?


6. Construire Cf sur [−2π ; 2π]. (ne pas oublier de construire les tangentes remarquables).

EXERCICE 2. 7 points  OAB est un triangle isocèle tel que OA =OB = 1 et AO B = 2α (radians). H est le pied de la hauteur issue de O et K celui de la hauteur issue de A. 1. Calculer AH en fonction de α. En déduire AB (en fonction de α ). 2. Calculer AK (en fonction de α ) a. En utilisant le triangle OAK.  b. En utilisant le triangle AKB, après avoir calculé AB O en fonction de α. c. En déduire l 'expression de sin (2α) en fonction de sin α et cos α. 3.Calculer, (en fonction de α) a. OK. b. KB en utilisant le triangle AKB. c. En déduire l'expression de cos (2α) en fonction de sin α. d. En déduire l’expression de cos (2α) en fonction de cos α. 4. Vérifier les formules obtenues avec 2α = π/3.

suite au dos …..

EXERCICE 3. 3 points Connaissances requises : (à recopier et compléter …)
cos(π/6) = …   sin(π/6) = … cos(π/3) = …   sin(π/3) = …cos(π/4) = …   sin(π/4) = …

sin a = sin b ⇔ … cos a = cos b ⇔ … sin²a + cos²a = … on donne : sin (2x) = 2 sin x cos x On se propose de résoudre, dans [0 ; π], l’équation (E) : cos x + sin x = 1+ 3 de deux manières. 2

1. (E) admet deux solutions « remarquables ». Les trouver en justifiant. 3 2. Montrer que sur [0 ; π], (E) est équivalente à [cos x + sin x]² = 1 + . 2 En déduire les solutionsde (E) sur [0 ; π].

EXERCICE 4. 4 points Questions de cours. → u est un vecteur non nul de coordonnées cartésiennes (a ; b) et de coordonnées polaires r et α 1. Donner les relations liant a, b, r et α . → → 2. v est le vecteur directement orthogonal à u . → a. Donner la définition de v . b. En déduire ses coordonnées polaires en fonction de r et α. c. En déduire ses coordonnées cartésiennes enfonction de a et b.

EXERCICE bonus. Lieu de points. Dans un repère orthonormé positif : 1 ; α) pour α ∈ [0 ; π/2] Déterminer l’ensemble des points de coordonnées polaires ( cos(α) + sin(α)

Exercice 1. f est la fonction définie sur IR par f(x) = sin x (1 + cos x). 1. a. Montrer que f est périodique de période 2π. π Il faut pour cela que : pour tout x de Df, x + 2π ∈ Df et f(x + 2π) = f(x) ππ ∀ x ∈ IR, x + 2π ∈ IR et f(x + 2π) = sin(x + 2π) (1 + cos(x + 2π)) = sin x (1 + cos x) car les fonctions sinus et cosinus sont 2π−périodiques. Donc f est 2π−périodique. b. f est−elle paire ou impaire ? − Il faut pour cela que : pour tout x de Df, − x ∈ Df et f(− x) = f(x) (paire) ou f(−x) = − f(x) (impaire) ∀ x ∈ IR, −x ∈ IR et f(−x) = sin(−x)(1 + cos(−x)) = − sinx (1 + cos x) = − f(x) Donc fest impaire. c. Justifier que l’on peut restreindre l’étude de f à l’intervalle [0 ; π]. f étant périodique il suffit de l’étudier sur un intervalle d’amplitude 2π par exemple [−π ; π], le reste de la courbe → s’obtiendra par translations de vecteurs k × 2π i avec k entier relatif f étant impaire, Cf est symétrique par rapport à l’origine O il suffit donc d’étudier f sur [0 ; π], la symétrie...
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