Actualisation

Pages: 5 (1184 mots) Publié le: 13 avril 2013
INTERETS COMPOSES
ESCOMPTE




I L’Escompte en intérêt composé



a.Définition algébrique

Tout comme l’escompte en intérêt simple, nous aurons besoin de la valeur nominale, de la durée ainsi que du taux d’escompte pour effectuer le calcul. Là aussi il s’agit d’une relation impliquant un débiteur, un créancier et un banquier prêteur. Le créancier prêtant une somme d’argent à undébiteur pour une échéance donnée n’est plus en possession de la somme prêtée pour cette période. Dans le besoin de cette somme la créancier va se retourner vers un banquier dans l’espoir que celui-ci lui accorde un prêt. Comme dans l’intérêt simple le banquier ne consentira à lui accorder le prêt qu’à la condition bien sûr de la preuve de sa solvabilité, mais également en échange d’une rémunération quel’on nommera ici aussi escompte. Nous considérerons dans cette leçon la valeur actuelle commerciale, qui est la valeur nominale moins l’intérêt (escompte) retenu par le banquier. L’escompte sera cependant considéré en intérêt composé.

Soit ; a la valeur actuelle commerciale ( en € et qui sera considérée en intérêt composé)
V la valeur nominale (en €),
n la durée (années,mois, jours…),
i le taux d’escompte (en % et exprimé annuellement),

En nous plaçant du côté du banquier celui-ci va effectuer un placement, capitalisé en fonction du nombre d’année. Nous avons vu dans le cadre des intérêt composés que l’escompte est la différence entre la valeur nominale, somme que le prêteur réclame et la valeur actuelle commerciale que remet effectivement lebanquier.
Le raisonnement est le même que dans celui de l’escompte à intérêts simple. En remettant simplement a il souhaite recevoir au final V lors du remboursement. La seule différence de calcul avec les intérêts simples où l’on considérait l’intérêt pour calculer le nouveau taux, ici on considérera la capital acquis.
Nous avons donc l’équation :

[pic]

Nous pouvons donc isoler a
[pic]*Remarque
Il s’agit ici de l’inverse du capital acquis.

Exemple

Un banquier remet une somme de valeur nominale 50000€ à un créancier à échéance de 3 ans au taux d’escompte de 5%. Calculer la valeur actuelle commerciale.

[pic]

Tout comme en intérêts simples la valeur actuelle commerciale est forcément plus faible que la valeur actuelle commerciale.

b. Equivalence de capitaux

On parleégalement de capitaux ou d’effets équivalents.

Là encore comme en intérêts simples, l’équivalence entre deux effets intervient lorsque les valeurs actuelles commerciales sont égales entre elles.
Pour exposer la situation nous allons prendre un exemple que nous allons généraliser.

Soit deux capitaux de valeurs nominales 121665,3€ et 131593,2€ à échéances respectives de 5 ans et 7 ans. Le tauxd’escompte pratiqué est de 4% annuel. Si nous calculons les valeurs actuelles commerciales, nous obtenons :

[pic]

Et
[pic]= 100000€

Nous remarquons que les deux valeurs actuelles commerciales sont égales entre elles.
Or nous avons précisé précédemment que le moment où les valeurs actuelles commerciales étaient égales entre elles était la date d’équivalence. Donc quatre ans avant leremboursement du premier effet et sept ans avant le remboursement du deuxième effet ces deux effets étaient égaux entre eux.

Généralisons la démarche en supposant que les deux effets aient été escomptés p années antérieurement à cette date d’équivalence qui est par ailleurs la date d’escompte initial.
Nous obtenons alors les équations suivantes pour les valeurs actuelles commerciales :

[pic]Et,
[pic]= 100000(1+0,04[pic]

Nous remarquons alors qu’à nouveau :

[pic]
Exemple

Un créancier souhaite substituer un règlement de valeur nominale de 40 000€ à échéance de 4 ans par un règlement à échéance de 7 ans. Calculer la valeur nominale de l’effet de remplacement sachant que le taux annuel d’escompte est de 6%.

Dans ce problème il s’agit d’appliquer l’égalité de deux...
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