Algebre

Pages: 12 (2918 mots) Publié le: 14 mars 2013
Spéciale PT

LYCÉE L E C ORBUSIER

P ROGRAMME DE COLLE N O 1
Algèbre linéaire
Comme d’habitude K = R ou K = C.

Semaine du 14 au 19 septembre 2009

Remarque Pour montrer qu’une partie est un s.e.v, il est souvent plus efficace de l’écrire comme s.e.v engendré que de revenir à la définition d’un s.e.v.

Espaces vectoriels
Définition 1 (Espaces vectoriels) Soit E un ensemble muni d’uneloi de composition interne E × E −→ E (x, y) −→ x + y et d’une loi externe K × E −→ E (λ, x) −→ λ.x. (E, +, .) est un K-espace vectoriel si et seulement si 1. ∀x, y, z ∈ E, (x + y) + z = x + (y + z) (associativité) 2. ∀x, y ∈ E, x y = y + x (commutativité) 3. la loi possède un élément neutre : ∃y ∈ E/∀x ∈ E, x + y = x . 4. chaque élément possède un opposé : ∀x ∈ E, ∃y ∈ E/x + y = O 5. ∀λ, µ ∈ K, ∀x∈ E, (λ + µ).x = λ.x + µ.x 6. ∀λ ∈ K, ∀x, y ∈ E, λ.(x + y) = λ.x + λ.y 7. ∀λ, µ ∈ K, ∀x ∈ E, λ.(µ.x) = (λ.µ).x 8. ∀x ∈ E, 1.x = x

Applications linéaires
Définition 4 (Applications linéaires) Soient u : E −→ F une application entre deux K−espaces vectoriels.u est dite linéaire si et seulement si ∀x, y ∈ E, ∀λ, µ ∈ K u(λ.x +µ.y) = λ.u(x)+µ.u(y).

Proposition 2 Une application linéaire envoie levecteur nul sur le vecteur nul : si u ∈ L(E, F), u(0E ) = 0F .

À propos de 3. : vous avez vu en PTSI qu’il– l’élément neutre – est alors unique et on le note 0. À propos de 4. : cet opposé est alors unique ; on le note −x. Ces quatre premières propriétés font de (E, +) un groupe commutatif. Exemples fondamentaux à revoir : Kn , K[X], Kn [X], M(n,p) (K).

Remarque Il n’est pas rare de voir desélèves – même aux concours – démontrer ce dernier point quand on leur demande de montrer qu’une application est linéaire. Ils montrent u(λ.x + µ.y) = λ.u(x) + µ.u(y) puis u(0E ) = 0F . Pour se faire repèrer comme n’apprenant pas son cours, il n’y a pas mieux. Vocabulaire Endomorphisme : application linéaire d’un espace vectoriel dans lui-même. Isomorphisme : application linéaire bijective.Automorphisme : endomophisme bijectif. Technique Pour répondre à la question usuelle « Montrer que u définit un endomorphisme de E », il faut montrer d’une part que si un vecteur x est dans E, u(x) est encore dans E puis que u est linéaire.Ne pas oublier le premier point.

Sous-espaces vectoriels Image et noyau d’une application linéaire
Définition 2 (Sous-espaces vectoriels) Soient E un K−espacevectoriel, F une partie de E (F ⊂ E). F est un sous espace vectoriel de E si et seulement si 1. F contient le vecteur nul 2. F est stable par combinaison linéaire i.e ∀x, y ∈ F , ∀λ, µ ∈ K, λ.x + µ.y ∈ F . Rappel de tout début de PTSI : soit f : E −→ F une application.Si X est une partie de E, f (X) = { f (a)/a ∈ X} est l’image directe de X par f . C’est donc la partie que décrit f (x) quand x décrit X.Si Y est une partie de F, f −1 (Y) = {u ∈ E/ f (u) ∈ Y} est l’image réciproque de Y par f .C’est donc l’ensemble des antécédents par f des différents éléments de Y.1

Proposition 3 (Image directe ou réciproque d’un s.e.v par une application linéaire) Remarques • Attention à ne pas mettre des E à la place des F dans la deuxième propriété exigée. • Sachez dire d’une phrase cette même propriété :si deux vecteurs sont dans F, toute combinaison linéaire de ces deux vecteurs est encore dans F. Soit u linéaire de E dans F.Si H est un s.e.v de E (resp. de F),u(H) est un s.e.v de F (resp. u −1 (H) est un s.e.v de E).

Définition 5 (Noyau et image d’une application linéaire) Proposition 1 Toute intersection de s.e.v de E est encore un s.e.v de E. Soit u : E −→ F une application linéare. 1. {x ∈E/u(x) = 0} est un s.e.v de E appelé noyau de u et noté Ker(u). 2. {u(x)/x ∈ E} est un s.e.v de F appelé image de u et noté Im(u).

Sous-espace engendré par une partie quelconque
Proposition 4 Définition 3 Soit A une partie non vide de E.L’ensemble des combinaisons linéaires de vecteurs de A forme un sous-espace vectoriel de E appelé sous-espace vectoriel egendré par la partie A. On le note...
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