ESPACE VECTORIEL D´finition e

Le¸on # 10 c ´ MATHEMATIQUES BIOTECH 1

Karim L. Trabelsi (ISBP)

Institut SupBiotech’ de Paris

Villejuif, le 1.2.10

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Introduction - Espaces vectoriels que vous connaissez n = 2 ou 3.

(Rn , +, ·)

avec

1 Les ´l´ments de Rn sont des vecteurs ` n composantes (coordonn´es). ee a e

2 L’addition conf`re ` Rn une structure de groupe commutatif. e a

1

2

3

4

(x, y , z) + (u, v , w ) = (x + u, y + v , z + w ) ∈ R3 ⇒ + est une lci. L’associativit´ est induite par celle de (R, +) composante par e composante. (x, y , z) + (0, 0, 0) = (x, y , z) ⇒ (0, 0, 0) est ´l´ment neutre. ee (x, y , z) + (−x, −y , −z) = (0, 0, 0) ⇒ tout ´l´ment admet un ee sym´trique. e λ(x, y , z) = (λx, λy , λz) ∈ R3 .

3 On peut multiplier les vecteurs de Rn par des ´l´ments du corps des r´els. ee e

(R[X], +, ·) l’ensemble des polynˆmes sur R o
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Espace vectoriel

Loi de composition externe

Soient K et E deux ensembles non vides. Une loi externe sur E de domaine d’op´rateur K est une application de K × E dans E. e

D´finition - Espace vectoriel e

Soit E un ensemble non vide muni d’une loi interne ∗ et d’une loi externe • ` domaine a d’op´rateur K. E est un K-espace vectoriel, si e

1 (E, ∗) est un groupe commutatif;

2 (K, +, ·) est un corps commutatif;

3 ∀λ, µ ∈ K, x, y ∈ E :

1

2

3

4

λ • (x ∗ y ) = (λ • x) ∗ (λ • y ); (λ + µ) • x = λ • x ∗ µ • x; λ • (µ • x) = (λ · µ) • x; 1K • x = x.

On appelle vecteurs les ´l´ments de E, et scalaires les ´l´ments de K. ee ee
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Propri´t´s directes ee

Avec les notations et hypoth`ses pr´c´dentes, nous avons: e e e

1 ∀x ∈ E, 0K • x = 0E ;

2 ∀λ ∈ K, λ • 0E = 0E ;

3 ∀x ∈ E, −x = (−1) • x;

4 ∀x ∈ E, λ ∈ K, λ • x = 0E ⇒ (λ = 0 ou x = 0E ).

5 ({0E }, ∗, •) est un K-espace