analyse mathematique

Pages: 54 (13276 mots) Publié le: 16 juin 2014
D´ partement de Math´ matiques
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Facult´ des Sciences
e
Universit´ Ibn Tofa¨l
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K´ nitra
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Cours d’Analyse II
S2
Fili` res : SMP /SMC (Deuxi` me semestre, premi` re
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ann´ e)
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Notes r´ dig´ es par :
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M. BENELKOURCHI Slimane
Professeur a l’Universit´ Ibn Tofa¨l.
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Mars 2011

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Table des mati` res
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Chapitre 1. Calcul Int´ gral
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1.1. D´finition de l’int´ grale d’une fonction continue
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1.2. Premi` res propri´ t´ s de l’int´ grale d’une fonction f sur un segment
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[a, b]
1.3. Int´ grale d’une fonction born´ e 1
e
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1.4. D´ rivation et Int´ gration
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1.5. Techniques de calcul d’int´ gral
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1.6. Formules de la moyenne
1.7. Formule de Taylor–Lagrange avec reste int´ gral
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1.8. Approximations d’Int´ grales
e1.9. Exercices

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Chapitre 2. Int´ grales g´ n´ ralis´ es
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e e
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2.1. D´ finition des int´ grales g´ n´ ralis´ es
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2.2. Etude de la convergence
2.3. Calcul des int´ grales g´ n´ ralis´ es
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2.4. Exercices

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Chapitre 3. Equations differentielles
3.1. Equations diff´ rentielles lin´ aires d’ordre 1
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3.2.Equations se ramenant a une equation lin´ aire
e
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3.3. Equations diff´ rentielles a variables s´ par´ es, homog` nes
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3.4. Equations diff´ rentielles lin´ aires d’ordre 2 a coefficients constants
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3.5. Exercices

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1. Cette section peut etre omis en premi` re lecture
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CHAPITRE 1

Calcul Int´ gral
e
L’int´ gration est unconcept fondamental en math´ matiques, issu du calcul des
e
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aires et de l’analyse, et utilis´ dans de nombreuses branches des math´ matiques.
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L’int´ gration permet, entre autres, de calculer la surface de l’espace d´ limit´ par
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e
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la repr´ sentation graphique d’une fonction f.
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Les op´ rations de mesure de grandeurs (longueur d’une courbe, aire, voe
lume, flux...) et de calcul deprobabilit´ s etant souvent soumises a des calculs
e ´
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d’int´ grales, l’int´ gration est un outil scientifique fondamental. C’est la raison
e
e
pour laquelle l’int´ gration est souvent abord´ e d` s l’enseignement secondaire.
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L’histoire des math´ matiques doit beaucoup a la th´ orie de l’int´ gration, et
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de tout temps, sa place pr´ dominante a faconn´ l’analyse enoffrant a qui une
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solution, a qui un probl` me. Le lustre des m´ thodes int´ grales en Gr` ce ane
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tique l’atteste, et bien qu’il faille attendre le calcul infinitis´ mal pour une premi` re
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formalisation, elles nous avaient d´ j` offert de profonds et beaux r´ sultats : les
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Ath´ niens evalu` rent les grandeurs de l’espace puis en d´ montr` rent implicitee
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´ment l’existence et l’unicit´ ; au XVIIe si` cle naissent des m´ thodes g´ n´ rales de
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calcul de l’infini (rectification de courbes, quadratures, etc.) C’est alors que la
m´ thode des indivisibles de Cavalieri voit le jour.
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C’est Leibniz qui op` re le fondement de la th´ orie de l’int´ gration (Geomee
e
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tria recondita, 1686), perp´ tu´ jusqu’aujourd’hui, d’une part par unsymbolisme
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in´ gal´ reliant int´ gration et d´ rivation, d’autre part par la mise en place des
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principaux th´ or` mes.
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La formalisation de cette th´ orie a revˆ tu diverses formes. Elle aboutit tardie
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vement, a cause de la complexit´ des probl` mes soulev´ s :
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– que sont les fonctions ? les r´ els ? (ces questions ne furent pleinement elucid´ es
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´que grˆ ce au d´ veloppement de l’analyse au 19` me si` cle).
a
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e
– quelles fonctions peuvent s’int´ grer ? (c’est la question de l’int´ grabilit´ ; elle
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est li´ e, entre autres, a des probl` mes de convergence).
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L’int´ grale de Riemann (Bernhard Riemann, 1854, publication posthume en
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1867) puis l’int´ grale de Lebesgue (Henri Lebesgue, 1902) ont marqu´ les...
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