Recueil d’exercices corrigés de première année ECS 1 ANALYSE
Table des matières
1 Analyse 1
1.1 Sommes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 Séries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4 Fonctions usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.5 Convexité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . …afficher plus de contenu…

1. exp est convexe sur R et y = x+ 1 est l’équation de la tangente à sa courbe en 0, ln est concave sur ] 0 ; +∞ [ et y = x− 1 est l’équation de la tangente à sa courbe en
1.
2. sin est concave sur ] 0 ; π/2 [ et y = x est l’équation de la tangente à sa courbe en 0 et y = 2x/pi est celle sa corde sur ] 0 ; π/2 [.
3. cos est concave sur ] 0 ; π/2 [ et y = 1 est l’équation de la tangente à sa courbe en 0 et y = 1− 2x/pi est celle sa corde sur ] 0 ; π/2 [.
4. t 7→ 1 − tn est concave sur ] 0 ; 1 [ et y = n(1 − t) est l’équation de la tangente à …afficher plus de contenu…

Lycée Henri Poincaré 11/35 lo1.6 Intégration, primitives Recueil d’exercices corrigés de première année ECS 1 ANALYSE
Correction no 43.
VRAI !
∀t ∈ [ 0 ; π/2 ] , 0 6 cos te−nt 6 e−nt car 0 6 cos t 6 1.
Par croissance de l’intégrale : 0 6
∫ π/2
0
cos t.e−ntdt 6
∫ 1
0
e−ntdt∫ 1
0
e−ntdt =
[
−e−nt n ]π/2
0
=
1− e−nπ/2 n −−−−−→ n→+∞ 0.
Par encadrement : lim n→+∞ ∫ π/2
0
cos t.e−ntdt = 0.
Exercice 44.
Pour p, q ∈ N, on pose : Ip,q =
∫ 1
0
xp(1− x)qdx.
1. En posant t = 1− x, montrer que Ip,q = Iq,p.
2. Établir une relation de récurrence entre Ip,q et Ip+1,q−1.
3. Calculer Ip,0.
4. En déduire la valeur de Ip,q en fonction de p et q.
Correction no 44.
1. Ip,q =
∫ 1
0
xp(1− x)qdx t=1−x
=
∫ 0
1
(1− t)ptq × (−1)dt =
∫ 1
0
(1− t)ptqdt = Iq,p.
2. En intégrant par parties sur [ 0 ; 1 ] avec les fonctions C1 u : x 7→