Lyc´e Faidherbe de Lille e Math Sp´ PC* e Feuille d’exercices du chapitre 3 Ann´e 2002–2003 e

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Applications lin´aires e
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u ∈ L(E, F ) et v ∈ L(F , E) sont tels que v ◦ u = idE . Prouver que F = Im(u) ⊕ ker(v). Que peut–on dire de u ◦ v ?

X PC* 2001 Soit M ∈ Mn (R) avec rg(M) < n ; prouver que M est ´quivalente ` une matrice nilpotente. e a
D´terminer les valeurs et vecteurs propres des endomorphismes de e E = Cn [X] : (1) ∆1 (P ) = P (2X + 1) (2) ∆2 (P ) = (X 2 − 1)D(P ) − nXP (3) ∆3 (P ) = P + P (jX) + P (j 2 X) (4) ∆4 (P ) est le reste de la division de X n P par (X − a0 ) . . . (X − an ) u et v sont des endomorphismes de E tels que u admet n valeurs propres distinctes avec n = dim(E) et u ◦ v = v ◦ u. o Prouver qu’il existe un polynˆme P ∈ Kn−1 [X] tel que v = P (u). e L’hypoth`se de n valeurs propres distinctes est–elle indispensable ? Soit u ∈ L(E) tel que u3 = u2 mais u2 ≠ u et u2 ≠ 0. Quelles sont les valeurs propres de u ? u est–il diagonalisable ? Prouver que E = ker(u2 )⊕ker(u−IdE ). Soit p le projecteur sur ker(u−IdE ) associ´ ; prouver que n = u − p est nilpotent et que n ◦ p = p ◦ n. e Exprimer p et n en fonction de u.   2 −5 3   Exemple : M(u) =  1 −3 2 . 1 −3 2

Soit A ∈ Mn,p (K) de rang n ; prouver qu’il existe B ∈ Mp,n (K) telle que A.B = In .

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f , u, v ∈ L(E) sont tels qu’il existe 2 scalaires λ et µ pour lesquels f = λu + µv, f 2 = λ2 u + µ 2 v et f 3 = λ3 u + µ 3 v. Prouver que f est diagonalisable et que u et v sont 2 projecteurs qui commutent.

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Soit u ∈ L(E) de rang 1. Prouver que ∃α ∈ K tel que u2 = αu. Calculer, si cela est possible, (IdE + u)−1 . Soit u ∈ L(E). Pour tout n ∈ N on note Fn = Im un et Gn = ker un . Montrer que la suite (Fn ) est d´croissante (pour l’inclusion) et que la e suite (Gn ) est croissante. Montrer que s’il existe n ∈ N tel que Gn = Gn+1 (Fn = Fn+1 ), alors, pour tout p ∈ N, on a Gn = Gn+p (Fn = Fn+p ). On suppose qu’il existe n, m ∈ N tel que Gn = Gn+1 et Fm = Fm+1 .