ANALYSE TEMPORELLE DES PRINCIPAUX PROCESSUS

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Signaux d’entrée
Impulsion : Échelon : Rampe : xI = δ xE = u xR (t) = t u(t) ⇔ ⇔ ⇔ XI = 1 XE = 1/s XR = 1/s2

A. 1er ordre à constante de temps
FONCTION DE TRANSFERT :
H= K 1+ T s 1 s+ 1 T

REPONSE IMPULSIONNELLE : YI = H × X I =

K K = × 1+ T s T

La réponse temporelle est donnée par la transformée inverse de YI :

y I (t ) = yI(t) K −T e u (t ) T

t

y I (0 ) =

K T

K T

y I′(0 ) = −

y I (∞ ) = 0 y I′(∞ ) = 0 Asymptote : y (t ) = 0

K T2

T

t

REPONSE INDICIELLE :

YE = H × X E =

K 1 × 1+ T s s

En décomposant YE en éléments simples on obtient :   1 T  1  1  YE = K  − =K − s s + 1   s 1+ T s    T  La réponse temporelle est donnée par la transformée inverse de YE : t −  T y E (t ) = K  1 − e  

  u (t )  

y E (0 ) = 0 K ′ y E (0 ) = T y E (∞ ) = K ′ y E (∞ ) = 0 Asymptote : y (t ) = K t

yE(t) K

T

t

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REPONSE A UNE RAMPE :

YR = H × X R =

K 1 × 2 1+ T s s

En décomposant YR en éléments simples on obtient :    T 1 T   YR = K  − + 2 + 1  s s s+   T  La réponse temporelle est donnée par la transformée inverse de YR : t −  T y R (t ) = K  t − T + T e  

  u (t )  

y R (0 ) = 0 ′ y R (0 ) = 0 y R (∞ ) = ∞ ′ y R (∞ ) = K Asymptote : y (t ) = K (t − T )

yR(t)

y (t ) = K t

y (t ) = K (t − T ) t B. 1er ordre généralisé
FONCTION DE TRANSFERT :
H =K
1+ T ′ s 1+ T s 1+ T ′ s +

1+ T ′ s REPONSE IMPULSIONNELLE : YI = H × X I = K =K 1+ T s

T′ T′ − T T 1+ T s

T′ T′   ′   1− T s +   T ′ (T − T ′) T ′ (T − T ′) 1  1  T + T =K  +  YI = K  × ×  =K  + 1 T T2 1+ T s  1+ T s   1+ T s T T s+     T    La réponse temporelle est donnée par la transformée inverse de YI : y I (t ) = yI(t) Dirac de poids K T’ / T

K T

 (T − T ′) e − Tt T ′ δ +  T  y I( t) K (T − T ′) T2

  u (t )  

T
K (T − T ′) T2
Avance de phase :T’>T

t

T
Retard de