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Corrigé examen de physique ISEN3 du 27 juin 2013Modèle du gaz d’électrons libres dans un espace de dimension 4
1. Hypothèses du modèle d’électrons libres : à l’intérieur du cristal, les électrons sont « libres » de se déplacer (force nulle et potentiel constant V pris arbitrairement égal à zéro). On utilisera les conditions cycliques de BORN-VON-KARMAN, qui imposent que le cristal se reproduise identique à lui-même dans toutes les directions jusqu’à l’infini, abolissant toute barrière de potentiel (et donc toute réflexion) sur les surfaces du cristal. Ceci privilégie l’idée physique d’une propagation des électrons, représentés alors par des ondes planes dans le cristal. Les conditions aux limites sont remplacées par des conditions de cyclicité :
x , y , z , t x L x , y , z , t x , y , z , t , x , y L y , z , t x , y , z , t x , y , z L z , t x , y , z , t , x , y , z , t L t x , y , z , t
2. L’équation de Schrödinger monoélectronique indépendante du temps s’écrit pour chaque électron : d dx
2 2
d dy
2
2
d dz
2
2
d dt
2
2
2 mE
2
0
on cherche des solutions à variables séparées : aboutit à des solutions du type :
x, y, z, t 1 exp c x, y
x
( x )
y
( y )
z
( z ) t ( t )
et on
i k .r
où
k (k x , k y , k z , kt )
2
k
2
et
E 2m
3. Les conditions cycliques de BORN-VON-KARMAN aboutissent à : e ik x Lx
1
et k x et k z
2 n Lx
x
avec nx entier , e
ik
y
L
y
1
et k y et k t
2 n y Ly
2 nt Lt
avec nt entier
e
ik
z
Lz
1
2 n z Lz
avec nz entier,
e
ik
t
Lt
1
avec ny entier
La densité d’états
k
vaut alors
2 2
L x L y L z Lt c n k 4 4 16 16
4. Finalement :
E
4
2
2m
2 2 n2 n n n x y z