CAPES de Mathématiques Résumé de cours d’algèbre linéaire
2001/2002

Université de Cergy Pontoise
Valérie Nachef Alexandre Mizrahi

Espaces vectoriels - Applications linéaires
Définition
√ Soit K un sous-corps de C (Par exemple Q, R, mais aussi Q( 2)). On appelle espace vectoriel sur K un ensemble E muni d’une loi interne notée + et d’une loi externe notée . avec les propriétés suivantes : 1. (E, +) est un groupe abélien 2. La loi externe . vérifie (a) ∀λ ∈ K ∀x ∈ E ∀y ∈ E (b) ∀λ ∈ K ∀µ ∈ K ∀x ∈ E (c) ∀λ ∈ K ∀µ ∈ K ∀x ∈ E (d) ∀x ∈ E 1.x = x λ.(x + y) = λ.x + λ.y (λ + µ).x = λ.x + µ.x (λµ).x = λ(µ.x)

On a les propriétés suivantes : α.0 = 0, 0.x = 0, α.(−x) = −α.x = (−α).x

Applications linéaires
Soient E et F deux espaces vectoriels et u une application de E dans F . On dit que u est linéaire si u(x + y) = u(x) + u(y) et u(λ.x) = λ.u(x) On note L(E) l’ensembles des endomorphismes de E. C’est une algèbre pour les lois +, . et ◦. On note GL(E) le groupe des automorphimes de E muni de la loi ◦.

Sous-espaces vectoriels
Un ensemble E ⊂ E non vide est un sous-espace vectoriel de E si E est stable pour les lois + et ’.’. Si u : E → F est une application linéaire alors E ss-ev de E ⇒ u(E ) ss-ev de F et F ss-ev de F ⇒ u−1 (F ) ss-ev de E. On a les cas particuliers : imu = u(E) et ker u = u−1 (0F ) sont des sous-espaces vectoriels de F et E respectivement. On appelle sous-espace vectoriel engendré par une partie X de E et on note vect(X) le plus petit sous-espace vectoriel de E qui contient X. Si vect(X) = E, X est une partie génératrice de E. L’ensemble des combinaisons linéaires d’une famille (xi ) d’éléments d’un espace vectoriel E est le sous-espace vectoriel engendré par la famille.

Somme directe d’une famille finie de sous-espaces vectoriels
Soit (Mi )1≤i≤n une famille finie de sous-espaces vectoriels d’un espace vectoriel E. L’application Ψ : i=1 Mi → n E, (x1 , · · · , xn ) → x1 + · · · + xn est linéaire. La somme i=1 Mi qui est l’image de Ψ est