Bac 2005 sujet national

Pages: 7 (1652 mots) Publié le: 6 mars 2011
exercice 1 - Commun à tous les candidats
Cet exercice constitue une restituion organisée de connaissances.

Partie A : question de cours
On suppose connus les résultats suivants :
(1) deux suites (un) et (vn) sont adjacentes lorsque : l'une est croissante, l'autre est décroissante et un - vn tend vers 0 quand n tend vers +\small \infty;
(2) si (un) et (vn) sont deux suites adjacentestelles que (un) est croissante et (vn) est décroissante, alors pour tout n appartenant à \mathbb{N}, on a u_n \leq v_n;
(3) toute suite croissante et majorée est convergente; toute suite décroissante et minorée est convergente.

Démontrer alors la proposition suivante :
" Deux suites adjacentes sont convergentes et elles ont la même limite".

Partie B
On considère une suite (un) définie sur\mathbb{N} dont aucun terme n'est nul. On définit alors la suite (vn) sur \mathbb{N} par v_n = \frac{-2}{u_n}.
Pour chaque proposition, indiquer si elle est vraie ou fausse et proposer une démonstration pour la réponse indiquée. Dans le cas d'une proposition fausse, la démonstration consistera à fournir un contre exemple. Une réponse non démontrée ne rapporte aucun point.
1. Si (un) estconvergente, alors (vn) est convergente.
2. Si (un) est minorée par 2, alors (vn) est minorée par -1.
3. Si (un) est décroissante, alors (vn) est croissante.
4. Si (un) est divergente, alors (vn) converge vers zéro. 5 points
exercice 2 - Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité
bac S 2005 sujet national : image 1

Dans le plan orienté, on considère les points O et A fixés etdistincts, le cercle \mathcal{C} de diamètre [OA], un point M variable appartenant au cercle \mathcal{C} et distinct des points O et A, ainsi que les carrés de sens direct MAPN et MKLO. La figure est représentée ci-dessus.

Le but de l'exercice est de mettre en évidence quelques éléments invariants de la figure et de montrer que le point N appartient à un cercle à déterminer.

On munit le plancomplexe d'un repère orthonormal direct de sorte que les affixes des points O et A soient respectivement 0 et 1.

On désigne par i le nombre complexe de module 1 et d'argument \frac{\pi}{2}. On note k, l, m, n et p les affixes respectives des points K, L, M, N et P.

1. Démontrer que, quel que soit le point M choisi sur le cercle \mathcal{C}, on a \left|m - \frac12\right| = \frac12

2. Etablirles relations suivantes : l = im et p = -im + 1 + i.
On admettra que l'on a également n = (1 - i)m + i et k = (1 + i)m.

3. a) Démontrer que le milieu \Omega du segment [PL] est un point indépendant de la position du point M sur le cercle \mathcal{C}.
b) Démontrer que le point \Omega appartient au cercle \normalsize \mathcal{C} et préciser sa position sur ce cercle.

4. a) Calculer ladistance KN et démontrer que cette distance est constante.
b) Quelle est la nature du triangle \Omega NK ?

5. Démontrer que le point N appartient à un cercle fixe indépendant du point M, dont on déterminera le centre et le rayon. 5 points
exercice 2 - Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité
Le but de cet exercice est d'étudier quelques propriétés de la figure donnée en annexe.Cette annexe sera à rendre avec la copie.

On munit le plan d'un repère orthonormal direct \small (O; \overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}).
Le quadrilatère MNPQ est un quadrilatère non croisé et de sens direct. Les triangles MRN, NSP, PTQ et QUM sont des triangles rectangles isocèles, extérieurs au quadrilatère MNPQ et de sens direct (les sommets des angles droites étant respectivement lespoints R, S, T et U).
Partie A
On désigne par m, n, p et q, les affixes respectives des points M, N, P et Q.
1. Soit f la similitude directe de centre M qui transforme N en R.
a) Déterminer le rapport et l'angle de la similitude f.
b) On désigne par r l'affixe du point R. Démontrer que r = \frac{1 + i}{2}m + \frac{1 - i}{2}n, où i désigne le nombre complexe de module 1 et d'argument...
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