Baccalauréat C Liban juin 1978
E XERCICE 1 Dans cet exercice, pour noter les entiers, on utilise le système décimal. Soit E le sous-ensemble de N constitué des entiers n qui posséde les propriétés suivantes : – 4 divise n – n admet au moins dix diviseurs appartenant à N il existe un entier premier p tel que n = 37p + 1. 1. Quel est le plus petit élément de E ? 2. Existe-t-il un élément n, de E, vérifiant 26800 < n < 27800 ? 4 points → → − − Soit E un plan vectoriel euclidien rapporté à une base a , b . (Le produit scalaire → → − − → → − − des vecteurs x et y de E est noté x · y ). Soit ϕ l’application de R dans E, telle que ∀x ∈ R, et ϕ sa dérivée. 1. Montrer que ∀α ∈ R, ϕ(α) et ϕ (α) constituent une base de E. 2. Pour tout réel t , décomposer ϕ(t ) dans une telle base. 3. Étudier l’ensemble des réels u tels que ϕ(u) · ϕ (u) = 0. E XERCICE 3 I- Soit f l’application de R dans R telle que ∀x ∈ R, f (x) = π 4

4 points

E XERCICE 2

→ − → − ϕ(t ) = cos t a + sin t b

12 points

0

e

−

x cos2 t

dt .

Montrer que, ∀x 0, f (x) e−x . Quelle est la limite de f quand x tend vers +∞. III1. Montrer que, pour tout réel b strictement positif, (∀x ∈ R) x b ⇒ ex − 1 − x 1 b 2 e x 2

et

x

−b ⇒ ex − 1 − x

1 −b 2 e x . 2

2. Montrer que, pour tout réel a, il existe une application ϕa , de R dans R, continue en a, telle que ϕa (a) = 0 et ∀x ∈ R, f (x) − f (a) = (x − a) − π 4

0

e cos2 t dt + ϕa (x) . cos2 t

−

a

En déduire que f est différentiable. Préciser la dérivée f de f .

Baccalauréat C

A. P. M. E. P.

IV- Soit P une primitive (sur R) de f de l’application u −→ e−u . À tout réel x, on associe l’application Q x , de I = − π ; π dans R, telle que 2 2 ∀x ∈ R, Q x (t ) = P (x tan t ).

2

Montrer que Q x est dérivable sur I ; expliciter sa dérivée. Prouver que : π −x 2 tan2 t x 4 e 2 ∀x ∈ R, e−u du = x dt . cos2 t 0 0 V- Soit g l’application de R dans R telle que ∀x ∈ R, Soit g sa dérivée. Montrer que ∀x ∈ R, g (x) =