Bac s antilles-guyane

Pages: 6 (1359 mots) Publié le: 1 mai 2012
Baccalauréat S Antilles-Guyane septembre 2011

E XERCICE 1 Commun à tous les candidats On considère la fonction f définie ]0 ; +∞[ par : f (x) = x ln x − 1. Partie A : Étude d’une fonction 1. a. Déterminer la limite de la fonction f en +∞.

5 points

b. Déterminer la limite de la fonction f en 0.

3. Montrer que l’équation f (x) = 0 admet une unique solution dans ]0 ; +∞[. On note α cettesolution. Déterminer un encadrement de α à la précision 10−2 . 4. Déterminer le signe de f (x) lorsque x appartient à ]0 ; +∞[. 1 5. Montrer que ln α = . α Partie B : Calcul d’une intégrale On donne en annexe la courbe C , représentation graphique de la fonction f dans un repère orthonormé. On considère l’intégrale suivante :
4

2. Soit f la fonction dérivée de la fonction f . Calculer f (x)pour tout réel x de ]0 ; +∞[. En déduire le tableau de variations de la fonction f sur ]0 ; +∞[.

I=

f (x) dx.

α

1. Justifier que l’intégrale I est l’aire d’une partie du plan que l’on hachurera sur le graphique donné en annexe (à rendre avec la copie). 2. À l’aide d’une intégration par parties, calculer l’intégrale
4

J= 3. Montrer l’égalité : I =

x ln x dx.

α

α2 α + + 16ln 2− 8. 4 2 En déduire une valeur approchée de I à 10−1 près. 5 points

E XERCICE 2 Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité → → → − − − L’espace est muni d’un repère orthonormé O, ı ,  , k . On considère les trois points A, B et C de coordonnées respectives : A(−1 ; 2 ; 1) , B(1 ; −6 ; −1) et C (2 ; 2 ; 2). 1.

a. Vérifier que les points A, B et C définissent bien un plan.   1 →− 1  est un vecteur normal au plan (ABC). b. Montrer que le vecteur n −3 c. Déterminer une équation cartésienne du plan (ABC).

Baccalauréat S

A. P. M. E. P.

2. Soit P le plan d’équation : x − y + z − 4 = 0.

a. Montrer que les plans (ABC) et P sont sécants.

b. Soit D la droite intersection des plans P et (ABC). Déterminer une représentation paramétrique de la droite D. 3. Onconsidère la sphère S de centre Ω(3 ; 1 ; 3) et de rayon 3 et on nomme I le point de coordonnées (2 ; −1 ; 1). On admet que la droite D a pour représentation paramétrique :
  x y  z

a. Montrer que le point I appartient à la droite D. b. Montrer que le point I appartient à la sphère S. c. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative même non fructueuse, sera priseen compte dans l’évaluation. Montrer que la droite D coupe la sphère S en un deuxième point. E XERCICE 2 Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité → → → − − − L’espace est muni d’un repère orthonormé O, ı ,  , k . On considère l’ensemble P des points M(x ; y ; z) de l’espace tels que : z = x2 + y 2. Les trois questions sont indépendantes. 1. a. Montrer que l’intersection de l’ensemble Pet du plan d’équation z = 5 est un cercle dont on précisera le centre et le rayon. b. Déterminer la nature de l’intersection de l’ensemble P et du plan d’équation y = 1. 6. a. Donner une équation de la sphère S. b. Montrer que l’intersection de la sphère S et de l’ensemble P est un cercle. 3. Le but de cette question est de déterminer les points M(x ; y ; z) de l’ensemble P , dont les coordonnéessont des entiers relatifs, appartenant au plan d’équation −3x + 2y = 1 et vérifiant z 25. b. Déterminer l’ensemble des couples (x ; y) d’entiers relatifs solutions de l’équation (E). Déterminer les points de l’ensemble P dont les coordonnées (x ; y ; z) sont des entiers relatifs vérifiant : −3x + 2y = 1 et z E XERCICE 3 Commun à tous les candidats 25. a. Donner un couple d’entiers relatifs solutionde l’équation (E) : −3x + 2y = 1. 5 points

= = =

1+t −3 + 2t t,

t ∈ R.

2. On considère la sphère S de centre O et de rayon

5 points

→ → − − Le plan est rapporté à un repère orthonormé direct O, u , v d’unité graphique 4 cm. Partie A : 1 1 3 3 On note P le point d’affixe p = − + i , Q le point d’affixe q = − − i , et K le point 2 2 2 2 d’affixe −1.
Antilles-Guyane

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