EXERCICE 5 Partie A : Ètude de certaines propriétés de la courbe C 1) Pour x > −1, on a x + 1 > 0 et donc la fonction x → ln(1 + x) est dérivable sur ] − 1, +∞[. Par suite la fonction ln(1 + x) est dérivable sur ] − 1, +∞[ en tant que quotient de fonctions dérivables sur ] − 1, +∞[ dont le dénominateur x→ 1+x ne s’annule pas sur ] − 1, +∞[ et finalement f est dérivable sur ] − 1, +∞[. De plus, pour x > −1, 1 × (1 + x) − ln(1 + x) 1 − ln(1 + x) (1 + x)2 − 1 + ln(1 + x) 1+x f ′ (x) = 1 − =1− = . (1 + x)2 (1 + x)2 (1 + x)2 Pour tout réel x > −1, f ′ (x) = (1 + x)2 − 1 + ln(1 + x) . (1 + x)2 1 > 0. Donc 1+x

2) La fonction N est dérivable sur ] − 1, +∞[ et pour x > −1, N ′ (x) = 2(1 + x) +

la fonction N est strictement croissante sur ] − 1, +∞[. N(0) = 1 − 1 + ln 1 = 0. Mais alors puisque la fonction N est strictement croissante sur ] − 1, +∞[, pour −1 < x < 0, N(x) < N(0) = 0 et pour x > 0, N(x) > 0. Enfin, puisque (1 + x)2 > 0, f ′ (x) est pour tout réel x > −1 du signe de N(x). On en déduit le Tableau de variations de f. x f ′ (x) f 0 −1 − 0 0 + +∞ f(0) = 0 − ln 1 =0 1

3) Soit x > −1. f(x) = x ⇔ x − ln(1 + x) ln(1 + x) =x⇔ = 0 ⇔ ln(1 + x) = 0 ⇔ 1 + x = 1 ⇔ x = 0. 1+x 1+x La courbe C et la droite D se coupent en O(0, 0).

Partie B : Ètude d’une suite récurrente définie à partir de la fonction f 1) D’après la question 2) de la partie A, la fonction f est croissante sur l’intervalle [0; 4]. Soit alors x un réel. 0 ≤ x ≤ 4 ⇒ f(0) ≤ f(x) ≤ f(4) ⇒ 0 ≤ f(x) ≤ 4 − ln(5) ⇒ 0 ≤ f(x) ≤ 4. 5

Pour tout réel x ∈ [0; 4], f(x) ∈ [0; 4].

2) a. Voir graphique page suivante. b. Montrons par récurrence que pour tout entier naturel n, un ∈ [0; 4]. • Puisque u0 = 4 ∈ [0; 4], cet encadrement est vrai quand n = 0. • Soit n ∈ N. Supposons que un ∈ [0; 4]. Alors d’après la question 1) de la partie B, un+1 = f(un ) ∈ [0; 4]. On a ainsi montré par récurrence que pour tout entier naturel n, un ∈ [0; 4]. http ://www.maths-france.fr 7 c Jean-Louis Rouget, 2007. Tous droits