Classe de première S5 Devoir de mathématiques N° 13

Mardi 26 mars 2002

Exercice 1) (7 points) ABC est un triangle, I est le milieu de [AC], D est le symétrique de B par rapport à C. 1) Faire une figure que l’on complétera par la suite. 2) Exprimer I et D comme barycentres de A, B et C munis de coefficients que l’on précisera. 3) On appelle G le barycentre de {(A, 2) (B, -1) (C, 2)} . Montrer que G est le point d’intersection de (AD) et (BI). 4) (CG) coupe (AB) en K. Montrer que A est le milieu de [BK] Exercice 2) (9 points) ABC est un triangle, I est le milieu de [AB], J est le milieu de [CI] 1) Faire une figure que l’on complétera par la suite. 2) Exprimer J comme barycentre de A, B, C munis de coefficients que l’on précisera. 3) M étant un point quelconque du plan, simplifier l’expression des vecteurs u et v définis par u = MA + MB + 2MC , v = MA + MB − 2MC . Que peut-on dire de ces vecteurs quand M est en C ? 4) On appelle B l’ensemble des points M du plan définis par u = v , et D l’ensemble des points M du plan tels que u et v soient colinéaires. Déterminer B et D, ainsi que leur intersection. Exercice 3) (4 points) Les deux questions sont indépendantes. 1) Soit ABCD un parallélogramme, et M un point quelconque. Montrer que MAC et MBD ont même isobarycentre. 2) Soit G le barycentre de (A, -a) (B, a) (C, c). Montrer que G est sur la parallèle à (AB) passant par C (a désigne un réel, c un réel non nul).