Calculs d’intégrales. Primitives

Primitives:
Soit f une fonction définie sur un intervalle I. On appelle primitive de la fonction f sur l’intervalle I toute fonction F définie et dérivable sur I telle que F′ = f.
Expression d’une primitive à l’aide d’une intégrale
Théorème fondamental
• Si f est continue sur l’intervalle I, alors f admet des primitives sur I.
• Si F est une primitive de la fonction f sur l’intervalle I, les primitives de f sur I sont les fonctions de la forme x 7→ F(x) + C où C est une constante réelle.
• Si f est continue sur l’intervalle I alors, pour tout réel a de I, la fonction x 7→
Z x a f(t) dt est une primitive de la fonction f sur l’intervalle I. Ainsi, pour tout réel x de I,

Zx a f(t) dt′
= f(x).
Plus précisément, la fonction x 7→
Zx
a f(t) dt est la primitive de f sur I qui s’annule en a.
• Si f est continue sur l’intervalle, pour tous réel x0 de l’intervalle I et tout réel y0, il existe une primitive F de f sur I et une seule telle que F(x0) = y0. La primitive de f qui prend la valeur y0 en x0 est la fonction x 7→ y0 +
Zx
x0 f(t) dt.
Expression d’une intégrale à l’aide d’une primitive
Soit f une fonction continue sur un intervalle I. Soit F une primitive de f sur I. Pour tous réels a et b de I,
Zb
a f(x) dx = F(b) − F(a).
Notation. Le nombre F(b) − F(a) est noté [F(x)] b a.
Formule d’intégration par parties
Soient u et v deux fonctions définies et dérivables sur un intervalle I. On suppose que les fonctions dérivées u′ et v′ sont continues sur l’intervalle I. Alors, pour tous réels a et b de I,
Zb
a u′(x)v(x) dx = [u(x)v(x)] b a −
Zb
a u(x)v′(x) dx.
Remarque. Si f est une fonction continue sur I, les notions d’intégrale et de primitive sont directement liées par la relation
Zb
a f(x) dx = F(b) − F(a).
Mais il existe des fonctions dont on sait calculer l’intégrale et qui n’admettent pas de primitive. Les fonctions en escaliers fournissent des exemples de fonctions dont on sait