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CHAPITRE 4. MATHEMATIQUES
FINANCIERES

126

` la date d’´ech´eance. V´erifier les
2. Soit K = K/(1 + r)n le prix d’exercice r´eactualis´e a
´equivalences suivantes
2

f = (K − Sn2 )+ ⇐⇒ f = (K − S n )+ et 2

f = (Sn2 − K)+ ⇐⇒ f = (S n − K)+

4.2

Mod` ele binomial sur une p´ eriode Nous allons analyser dans cette premi`ere section, l’´evolution d’un march´e financier
´el´ementaire a
` deux ´etats, sur une unit´e de temps n = 1. L’´evolution du prix d’une part d’un titre sans risque Sk1 , a
` taux d’int´erˆet constant ∆Uk1 = r > 0 est simplement donn´e par les formules S01 = 1 et S11 = (1 + r)
Le prix actuel d’une part du titre risqu´e est connu avec certitude initialement
S02 = s0 ∈ R+ = (0, ∞)
A la p´eriode suivante, S12 ne peut prendre que deux valeurs
S12 (ω) ∈ {s1,1 , s1,2 } avec 0 < s1,1 < s1,2

∀ω ∈ Ω

Autrement dit, ce march´e binomial ´evolue de deux fa¸cons diff´erentes. Pour un certain al´ea, disons ω 1 , nous avons
S0 (ω 1 )
S1 (ω 1 )

= (S01 (ω 1 ), S02 (ω 1 )) = (1, s0 )
= (S11 (ω 1 ), S12 (ω 1 )) = ((1 + r), s1,1 )

Dans un autre contexte al´eatoire, disons pour un al´ea ω 2 , on a plutˆ ot S0 (ω 2 )
2

S1 (ω )

= (S01 (ω 2 ), S02 (ω 2 )) = (1, s0 )
= (S11 (ω 2 ), S12 (ω 2 )) = ((1 + r), s1,2 )

Le mod`ele binomial sur une p´eriode correspond au tableau des ´epreuves suivant :
Ω
ω1 ω2 S0 = (S01 , S02 )
(1; s0 )
(1; s0 )

S1 = (S11 , S12 )
((1 + r); s1,1 )
((1 + r); s1,2 )

Ce march´e financier s’exprime donc de fa¸con naturelle sur l’espace des al´eas
Ω = {ω 1 , ω 2 } muni de la filtration ´el´ementaire :
F0 = σ(S0 ) = {∅, Ω} ⊂ F1 = σ(S0 , S1 ) = P(Ω) = {∅, Ω, {ω 1}, {ω 2 }}

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4.2. MODELE
BINOMIAL SUR UNE PERIODE

127

A l’instant initial k = 0, nous acqu´erons le portefeuille Φ1 = (Φ11 , Φ21 ) ∈ R2 , au coˆ ut V0 (Φ) = Φ11 S01 + Φ21 S02 = Φ11 + Φ21 s0
A l’instant suivant, les nouveaux prix des actifs S1 = (S11 , S12 ) sont annonc´es, et notre portefeuille prend la valeur
V1 (Φ) = Φ11 S11 + Φ21 S12 = Φ11 (1 + r) + Φ21 S12

4.2.1

Point de