Chapitre 0a : logique - 1ère approche

Pages: 8 (1883 mots) Publié le: 12 mars 2013
CHAPITRE 0A : LOGIQUE - 1ère APPROCHE
I. QU’EST-CE QUE LA LOGIQUE MATHEMATIQUE?
1. DEFINITION .
Logique : Du latin logica : art ou science du raisonnement.

La logique mathématique est une manière de raisonner convaincante , utilisant une suite cohérente d’affirmations validées et justifiées , en suivant un processus de déductions . On cherche à déduire ce que l’on veut obtenir à partir dece que l’on sait .

Remarque : la logique mathématique est basée sur l’utilisation de propriétés n’admettant comme
seules valeurs de vérité que le vrai ou le faux :

2. QUELQUES NOTATIONS.
« A » désigne le complémentaire de l’ensemble A dans un ensemble E . exemple : Dans , l’ensemble des entiers naturels , Si P l’ensemble des entiers pairs , I celui des entiers impairs , on a P = I ou I = P. « ∈ » : se lit « appartient à » utilisé pour traduire qu’un élément a est contenu dans un ensemble E . exemple : 2 ∈ .

Remarque : On utilise aussi le symbole « ∉ » se lisant « n’appartient pas » .
« ⊂ » : se lit « inclus » utilisé pour traduire qu’un ensemble E est contenu dans un autre ensemble F.

Remarque : On dit alors que E est un sous ensemble de F.
exemple :



.

« ∩ » : selit « inter » utilisé pour représenter « l’intersection » de 2 ensembles I et J , soit l’ensemble des éléments qui appartiennent à la fois à l’un et à l’autre. On note : si x ∈ I et x ∈ J alors x ∈ I ∩ J « ∪ » : se lit « union » utilisé pour représenter « la réunion » de 2 ensembles I et J , soit l’ensemble des éléments qui appartiennent à l’un ou à l’autre. On note : si x ∈ I ou x ∈ J alors x ∈I ∪ J « ∀ » : se lit « pour tout » . exemple : « Pour tout nombre réel x » se note mathématiquement « ∀x ∈ « ∃ » : se lit « il existe au moins » . exemple : « Il existe au moins un nombre réel x » se note mathématiquement « ∃x ∈ « ! » se lit « un unique » . exemple : « Il existe un unique nombre réel x » se note mathématiquement « ∃! x ∈ ». ». »

Remarque : Les symboles ∀, ∃ et ! sont appelésdes quantificateurs .

II. AVEC UNE PROPOSITION.
1. NEGATION D’UNE PROPOSITION.
Il faut savoir nier une phrase mathématiques comme pour les phrases du langage courant. Exemple : Le contraire de Tous les élèves sont grands est Il existe un élève qui n'est pas grand
Page 1

Exercices : Ecrire la négation de chacune des phrases suivantes :
(P1) : « Aujourd'hui, le soleil brille » (P5) « x > 0» ; (P6) « x ≤ -1 » ; (P2) : « Je n'irai pas au cinéma ce soir » ; (P3) : « J'utilise ma voiture tous les jours » ; (P4) : « Personne ne fait aussi bien que lui » ;

Notation : Si on désigne par « P » une proposition , on désigne par « P » la négation de « P » .

Remarques : (1) « P » peut-être vraie ou fausse : Si « P » est vraie , alors « P » est fausse , et Si « P » est vraie , alors « P »est fausse.
(2) Il n’est pas possible d’avoir simultanément vraies les propositions « P » et « P ». (3) Etant donnée « P » , il n’est pas possible d’obtenir à partir de « P » une autre proposition que « P ». Exercice : 1. Compléter le tableau ci-dessous : Proposition P
Tous les triangles sont rectangles Il existe un nombre réel tel que x² < 0 Il existe des quadrilatères non inscriptibles dans uncercle Il existe des triangles qui ont un angle obtus Tous les nombres réels x vérifient x² ≥ 1 Pour tout nombre réel x, x² = x /

P
vrai ou faux ?

vrai ou faux ?

P

P

2. Quelle règle semble apparaître concernant : a. la négation d'une phrase commençant par : "il existe ..." ? b. la négation d'une phrase commençant par : "tous les ..." ? Soit une P propriété. P(x) vraie signifie quex vérifie P. Soit E un ensemble. On a les propriétés suivantes : La négation de " ∀ x ∈E, P(x)" est " ∃ x ∈ E, P(x)"

La négation de " ∃ x ∈E, P(x)" est " ∀ x ∈ E, P(x)"

2. PROPOSITION RECIPROQUE.
Les 2 propositions P : « Si A, alors B » et Q : « Si B, alors A » sont appelées des propositions réciproques.

Remarques : On peut rencontrer tous les cas suivants :
Une proposition vraie et...
Lire le document complet

Veuillez vous inscrire pour avoir accès au document.

Vous pouvez également trouver ces documents utiles

  • Chapitre 1 la logique entrepreneuriale
  • Chapitre 1 La Logique Entrepreneuriale
  • Chapitre 1 : la logique entrepreneuriale
  • CHAPITRE 1 LOGIQUE ENTREPRENEURIALE
  • CHAPITRE 1 LA LOGIQUE ENTREPRENEURIALE
  • CHAPITRE 2 LA LOGIQUE MANAGÉRIALE
  • CHAPITRE 2_LES APPROCHES D AUDIT
  • chapitre 1 de 1ère S

Devenez membre d'Etudier

Inscrivez-vous
c'est gratuit !