Corrigé du baccalauréat S Antilles-Guyane septembre 2011

E XERCICE 1 Commun à tous les candidats Partie A : Étude d’une fonction 1. a. De lim x = +∞ et lim ln x = +∞, on conclut que lim f (x) = +∞. x→+∞ x→+∞ x→+∞

5 points

b. On sait que lim x ln x = 0, donc lim f (x) = −1. x→0 x→0

1 2. f (x) = ln x + x × = ln x + 1. x On a donc f (x) > 0 ⇐⇒ ln x + 1 > 0 ⇐⇒ ln x > −1 ⇐⇒ x > e−1 (par croissance de la fonction exponentielle). On peut donc en déduire que f est croissante sur e−1 ; +∞ . De même f (x) < 0 ⇐⇒ x < e−1 et f (x) = 0 ⇐⇒ x = e−1 . On a f e−1 = e−1 ln e−1 − 1 = −e−1 − 1. On a donc le tableau de variations de la fonction f sur ]0 ; +∞[ suivant : x f (x) −1 f (x) −e−1 − 1 3. Sur 0 ; e−1 , f (x) −1 < 0. l’équation n’a pas de solution sur cet intervalle. Sur l’intervalle e−1 ; +∞ , la fonction f est continue car dérivable et strictement monotone croissante : il y a donc une bijection de e−1 ; +∞ sur −e−1 − 1 ; +∞ . Conclusion : il existe un réel unique α de l’intervalle e−1 ; +∞ tel que f (α) = 0. La calculatrice donne successivement : 1, 7 < α < 1, 8, puis 1, 76 < α < 1, 77. 4. La question précédente montre que : - sur ]0 ; α[ , f (x) < 0 ; - f (α) = 0 ; - sur ]α ; +∞[, f (x) > 0. 5. On a f (α) = 0 ⇐⇒ αln α − 1 = 0 ⇐⇒ αln α = 1 ⇐⇒ ln α = Partie B : Calcul d’une intégrale 1. On sait que sur l’intervalle [α ; 4] la fonction f est positive, que α < 4, donc l’intégrale est (en unité d’aire) l’aire de la surface hachurée limitée par la courbe C , l’axe des abscisses et les droites d’équations respectives x = α et x = 4.  2   u(x) = x u (x) = x 2 2. Posons =⇒  v(x) = ln x  v (x) = 1 x Toutes ces fonctions sont continues car dérivables sur l’intervalle [α ; 4], on peut donc faire une intégration par parties : 0 − e−1 0 + +∞ +∞

1 (car α = 0). α

Baccalauréat S

A. P. M. E. P.

4 x x2 x2 x2 x2 1 × dx = ln x − dx = ln x − = x 2 2 4 α α 2 α 2 α α α2 α2 α2 α2 ln α − − ln α. = 8ln 4 − 4 + 8ln 4 − 4 − 2 4 4 2 4 α2 α2 3. I = (x ln x − 1) dx = 4 x ln