Qzerg

Pages: 26 (6415 mots) Publié le: 6 juin 2012
Maˆ ıtrise d’informatique

2 001-02

ALGORITHMIQUE ´ NUMERIQUE
Notes de Cours Jean-Yves JAFFRAY
CHAPITRE

OPTIMISATION

1

OPTIMISATION
1
1.1

OPTIMISATION D’UNE FONCTION D’UNE VARIABLE
FONCTIONS UNIMODALES

Soit f une fonction ` valeurs r´elles d´finie dans un intervalle [a, b] de R. a e e On dit que f passe par un minimum (global ou absolu) en x lorsque x ∈ ˆ [a, b] =⇒ f (x)f (ˆ) ; ce minimum est strict lorsque x = x =⇒ f (x) > f (ˆ) ; x ˆ x et on dit que f passe par un minimum local en x lorsqu’il existe un voisinage ˆ V de x tel que x ∈ V =⇒ f (x) ˆ f (ˆ) ; ce minimum local est strict lorsque x x ∈ V \ {ˆ} =⇒ f (x) > f (ˆ). x x [Rappelons que dans R un voisinage V de x est un ensemble contenant un ˆ intervalle ouvert ]α, β[ contenantlui-mˆme x] e Une fonction f estunimodale lorsqu’il existe x ∈ [a, b] tel que : ˆ x1 < x2 x =⇒ f (x1 ) > f (x2 ) ; ˆ 1 x x < x2 =⇒ f (x1 ) < f (x2 ). ˆ Une fonction unimodale passe donc par un minimum strict en un point x de ˆ [a, b] Notons qu’une fonction unimodale peut ne pas ˆtre d´rivable, ni mˆme cone e e tinue.

Exemples de fonctions unimodales

Une fonction f est dite convexe lorsque ∀x, y ∈ [a, b], ∀λ ∈ [0, 1] , f(λx + (1 − λ)y) λf (x) + (1 − λ)f (y) et strictement convexe lorsque ∀x, y ∈ [a, b], ∀λ ∈]0, 1[, f (λx + (1 − λ)y) > λf (x) + (1 − λ)f (y). Toute fonction strictement convexe est unimodale. En revanche il existe des fonctions convexes non unimodales et des fonctions unimodales non convexes. L’int´rˆt des fonctions unimodales tient ` la propri´t´ suivante : ee a ee

2

Lemma 1 Tout minimum locald’une fonction unimodale en est minimum global. Ce lemme, de mˆme que le suivant, se d´montre facilement (par l’absurde). e e Lemma 2 Soit f : [a, b] → R, unimodale. Soit xG , xD tels que a < xG < xD < b; alors : f (xG ) < f (xD ) =⇒ x ∈ [a, xD ] ˆ f (xG ) > f (xD ) =⇒ x ∈ [xG , b] ˆ f (xG ) = f (xD ) =⇒ x ∈ [xG , xD ]. ˆ

Figure dans le 1 er cas

Nous utiliserons cette propri´t´ pourlocaliser, avec une pr´cision donn´e, ee e e par une m´thode it´rative, le minimum d’une fonction unimodale. e e Le calcul de la valeur d’une fonction f en un x donn´ peut ˆtre long (il e e faut par exemple sommer les premiers termes d’une s´rie de somme f (x)). La e m´thode suivante ne demande qu’une ´valuation ` chaque it´ration. e e a e

1.2

´ METHODE DE LA SUITE DE FIBONACCI
F0 = F1 = 1; Fk+2 =Fk + Fk+1 .

Rappel : La suite de FIBONACCI est donn´e par la formule de r´currence : e e Ses premiers termes sont donc : 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, etc... Le rapport de deux termes successifs a pour limite le nombre d’or :
Fk+1 Fk

→τ =

√ 1+ 5 2

1 = 1, 618.., solution positive de l’´quation τ = 1 + τ . e

M´thode : e On se donne a priori N, nombre total de fois o` l’on´valuera f en un point. u e It´ration k e On applique le lemme pr´c´dent ` un intervalle [ak , bk ] avec les points int´rieurs e e a e xG , xD donn´s par : e k k xG = ak + k
FN −k FN +2−k (bk

− ak );

xD = ak + k

FN +1−k FN +2−k (bk

− ak ),

qui sont situ´s sym´triquement sur e e Selon le r´sultat de la comparaison e cas suivants :

[ak , bk ],.puisque xG − k de f (xG ) et f (xD ) onk k

ak = bk − xD . k sera dans l’un des

cas (i) : f (xG ) < f (xD ). Comme x ∈ [ak , xD ], on prendra ak+1 = ak et ˆ k k k bk+1 = xD . k 3

Comme xD = ak+1 + k+1 ak +
FN +1−(k+1) FN +2−(k+1) (bk+1

− ak+1 ) = ak +

FN −k FN +1−k FN +1−k . FN +2−k (bk

− ak ) = ak +

FN −k D FN +1−k (xk − FN −k G FN +2−k (bk − ak ) = xk ,

ak ) =

seule f (xG ) aura ` ˆtre ´valu´e `l’it´ration suivante. ae e e a e k+1 Notons aussi que
FN +1−k u bk+1 − ak+1 = xD − ak = FN +2−k (bk − ak ), d’o` k bk+1 −ak+1 bk −ak

=

FN +1−k FN +2−k .

Cas(i) ˆ cas (ii) : f (xG ) > f (xD ). Comme x ∈ [xG , bk ], on prendra ak+1 = xG et k k k k bk+1 = bk . Comme xG = xD (calcul semblable ` celui du cas(i)), seule f (xD ) aura a k+1 k+1 k −ak+1 FN +1−k ae ` ˆtre ´valu´e. Notons encore que bk+1...
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