Maˆ ıtrise d’informatique

2 001-02

ALGORITHMIQUE ´ NUMERIQUE
Notes de Cours Jean-Yves JAFFRAY
CHAPITRE

OPTIMISATION

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OPTIMISATION
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1.1

OPTIMISATION D’UNE FONCTION D’UNE VARIABLE
FONCTIONS UNIMODALES

Soit f une fonction ` valeurs r´elles d´finie dans un intervalle [a, b] de R. a e e On dit que f passe par un minimum (global ou absolu) en x lorsque x ∈ ˆ [a, b] =⇒ f (x) f (ˆ) ; ce minimum est strict lorsque x = x =⇒ f (x) > f (ˆ) ; x ˆ x et on dit que f passe par un minimum local en x lorsqu’il existe un voisinage ˆ V de x tel que x ∈ V =⇒ f (x) ˆ f (ˆ) ; ce minimum local est strict lorsque x x ∈ V \ {ˆ} =⇒ f (x) > f (ˆ). x x [Rappelons que dans R un voisinage V de x est un ensemble contenant un ˆ intervalle ouvert ]α, β[ contenantlui-mˆme x] e Une fonction f est unimodale lorsqu’il existe x ∈ [a, b] tel que : ˆ x1 < x2 x =⇒ f (x1 ) > f (x2 ) ; ˆ 1 x x < x2 =⇒ f (x1 ) < f (x2 ). ˆ Une fonction unimodale passe donc par un minimum strict en un point x de ˆ [a, b] Notons qu’une fonction unimodale peut ne pas ˆtre d´rivable, ni mˆme cone e e tinue.

Exemples de fonctions unimodales

Une fonction f est dite convexe lorsque ∀x, y ∈ [a, b], ∀λ ∈ [0, 1] , f (λx + (1 − λ)y) λf (x) + (1 − λ)f (y) et strictement convexe lorsque ∀x, y ∈ [a, b], ∀λ ∈]0, 1[, f (λx + (1 − λ)y) > λf (x) + (1 − λ)f (y). Toute fonction strictement convexe est unimodale. En revanche il existe des fonctions convexes non unimodales et des fonctions unimodales non convexes. L’int´rˆt des fonctions unimodales tient ` la propri´t´ suivante : ee a ee

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Lemma 1 Tout minimum local d’une fonction unimodale en est minimum global. Ce lemme, de mˆme que le suivant, se d´montre facilement (par l’absurde). e e Lemma 2 Soit f : [a, b] → R, unimodale. Soit xG , xD tels que a < xG < xD < b; alors : f (xG ) < f (xD ) =⇒ x ∈ [a, xD ] ˆ f (xG ) > f (xD ) =⇒ x ∈ [xG , b] ˆ f (xG ) = f (xD ) =⇒ x ∈ [xG , xD ]. ˆ

Figure dans le 1 er cas

Nous utiliserons cette propri´t´ pour