kghhb,jhj;nj,n

Pages: 60 (14888 mots) Publié le: 6 janvier 2015
Université de Strasbourg
Licence MPA, L2–S4

Électromagnétisme
Année 2013–2014

TD 0
Analyse vectorielle — Rappels et compléments

Les exercices suivants ont pour but de vous rappeler et de mieux vous familiariser aux
techniques de calcul vectoriel qui seront utilisées tout au long du cours. Les exercices ne
seront pas discutés en cours, mais un corrigé sera mis à votre disposition enligne.
(http://www-ipcms.u-strasbg.fr/spip.php?article2706).
Il est fortement recommandé de lire (au fur et à mesure que vous ferez les exercices) le
chapitre 1 du livre de D. J. Griffiths, Introduction to Electrodynamics (Addison-Wesley, 1999).
Celui-ci vous aidera grandement dans la résolution des exercices.

Exercice 0.1
(a) Montrez que le produit scalaire et le produit vectoriel sontdistributifs.
?

(b) Le produit vectoriel est-il associatif ? [(A × B) × C = A × (B × C)]

Exercice 0.2
Déterminez l’angle entre les diagonales d’un cube.

Exercice 0.3
(a) Démontrez la règle « BAC-CAB » :
A × ( B × C ) = B ( A · C ) − C ( A · B ).
(b) En déduire que
A × (B × C) + B × (C × A) + C × (A × B) = 0.

Exercice 0.4
Déterminez le vecteur η = r − r� séparant les points r� =(2, 8, 7) et r = (4, 6, 8). Déterminez la
norme η = |η| et le vecteur unitaire ηˆ = η/η.

Exercice 0.5
Calculez le gradient des fonctions suivantes :
(a) f ( x, y, z) = x2 + y3 + z4 .
(b) f ( x, y, z) = x2 y3 z4 .
(c) f ( x, y, z) = ex sin y ln z.

1

Exercice 0.6
L’altitude en un point ( x, y) d’une colline est donnée (en mètres) par


h( x, y) = 10 2xy − 3x2 − 4y2 − 18x + 28y +12 ,

où y est la distance (en kilomètres) par rapport au nord de Niederschaeffolsheim et x la
distance par rapport au sud de ce même village.
(a) Où est situé le sommet de la colline ?
(b) Quelle est l’altitude de la colline ?
(c) Quelle est la raideur de la pente (en %) en un point 1 km au nord et 1 km à l’est de Niederschaeffolsheim ? Dans quelle direction la pente est-elle la plus raide,et à quel point ?

Exercice 0.7
Soit η = r − r� le vecteur séparant le point r� = ( x � , y� , z� ) du point r = ( x, y, z), soit η la norme
de ce vecteur, et soit ηˆ = η/η le vecteur unitaire selon η. Montrez que
(a) ∇(η 2 ) = 2η.

(b) ∇(1/η ) = −ηˆ /η 2 .

(c) Quelle est l’expression générale de ∇(η n ) ?

[Attention : l’opérateur ∇ est défini par rapport à r !]

Exercice 0.8Calculez la divergence des fonctions vectorielles suivantes :
(a) v a = x2 xˆ + 3xz2 yˆ − 2xz zˆ .

(b) vb = xy xˆ + 2yz yˆ + 3zx zˆ .

(c) vc = y2 xˆ + (2xy + z2 ) yˆ + 2yz zˆ .

Exercice 0.9
Faire un croquis de la fonction vectorielle v = rˆ /r2 , où r = x xˆ + y yˆ + z zˆ et rˆ = r/r, et calculez
sa divergence. Le résultat vous surprendra peut-être. . . Pouvez-vous l’expliquer ? [Indication:
Le calcul que vous avez effectué est-il valable pour tout r ?]

Exercice 0.10
Déterminez le rotationnel des fonctions vectorielles de l’Exercice 0.8.

Exercice 0.11
Inventez une fonction vectorielle qui a une divergence et un rotationnel nuls en tout point
de l’espace. (Un vecteur constant ferait évidemment l’affaire, mais essayez de trouvez quelque
chose d’un peu plus intéressant. . .)

Exercice 0.12
Démontrez les Eqs. (3), (6) et (7) du formulaire distribué en cours.
2

Exercice 0.13
(a) Soient A et B deux fonctions vectorielles. Déterminez l’expression générale de (A · ∇)B
en fonction des composantes cartésiennes de A et B.
(b) Calculez (rˆ · ∇)rˆ , où rˆ = r/r et r = x xˆ + y yˆ + z zˆ .

(c) Evaluez (v a · ∇)vb , où v a et vb sont définis à l’Exercice 0.8.Exercice 0.14
Montrez que
� �
f
g∇ f − f ∇ g

=
,
g
g2
� �
A
g(∇ · A) − A · (∇ g)
∇·
=
,
g
g2
� �
A
g(∇ × A) + A × (∇ g)
∇×
.
=
g
g2

Exercice 0.15
Vérifiez les règles du produit (4), (6), et (8) du formulaire pour les vecteurs A = x xˆ + 2y yˆ +
3z zˆ et B = 3y xˆ − 2x y.
ˆ

Exercice 0.16
Calculez le laplacien des fonctions suivantes :
(a) Ta = x2 + 2xy + 3z +...
Lire le document complet

Veuillez vous inscrire pour avoir accès au document.

Vous pouvez également trouver ces documents utiles

  • Ccf nj fitness
  • Sebbxfdbfbrbfbtnn rt nj,

Devenez membre d'Etudier

Inscrivez-vous
c'est gratuit !