TS

Terminale
Scientifique

Lycée René Cassin, Gonesse (Val d’Oise, France métropolitaine)

Correction Bac Blanc

Ma sht ths aM TS1&2&3
Obligatoire
&
Spécialité

n o i c t c e lan r r
Co ac B
B

Exercice 1. Commun à tous les candidats

Polynésie juin 2006

Le plan complexe est muni du repère orthonormal direct (O, → u, → v ) ; unité graphique 2 cm.
On appelle A et B les points du plan d’affixes respectives a = 1 et b = −1.
On considère l’application f qui, à tout point M différent du point B, d’affixe z, fait correspondre le point M ′ d’affixe z ′ définie par z′ =

z−1 z+1 On fera une figure qui sera complétée tout au long de cet exercice.

×

P

Q

×

(i)

P′

→ v B

O

(−i)

→ u A

(C ′ )

(C)

x = −2
Boisset, Legrand, Roussot

1/ 12

Février 2013

Correction Bac Blanc

TS

1. Déterminer les points invariants de f c’est-à-dire les points M tels que M = f (M ).

Soit un point M du plan différent de B et donc d’affixe différente de −1 : z ≠ −1 ie z + 1 ≠ 0. z−1 M = f (M ) ⇐⇒ z = z ′ ⇐⇒ z =
⇐⇒ z(z + 1) = z − 1 ⇐⇒ z 2 + z − z + 1 = 0 ⇐⇒ z 2 + 1 = z+1 0 ⇐⇒ z 2 − i2 = 0 ⇐⇒ (z − i)(z + i) = 0 ⇐⇒ z − i = 0 ou z + i = 0 ⇐⇒ z = i ou z = −i
Donc les seuls points invariants de f sont les deux points d’affixe i et −i.
2.

a. Montrer que, pour tout nombre complexe z différent de −1, (z ′ − 1) (z + 1) = −2.

Soit z ∈ C tel que z ≠ −1 :
−2
−2 z−1 z+1 z−1−z−1
−
=
=
ainsi (z ′ − 1) (z + 1) = ❳ × ❳
(z❳
+❳
1)
z′ − 1 =
❳ = −2.
❳
z+1 z+1 z+1 z+1 z +❳
1
b. En déduire une relation entre ∣z ′ − 1∣ et ∣z + 1∣ , puis entre arg(z ′ − 1) et arg(z + 1), pour tout nombre complexe z différent de −1.
Traduire ces deux relations en termes de distances et d’angles.

⎧
′
⎪
⎪
⎪ ∣(z − 1) (z + 1)∣ = ∣−2∣
(z − 1) (z+1) = −2 ⇒ ⎨
⎪
⎪ arg ((z ′ − 1) (z + 1)) = arg (−2) [2π]
⎪
⎩
On a ainsi en terme de distance et d’angle :
′

⎧
′
⎪
⎪
⎪ ∣z − 1∣ ∣z + 1∣ = 2
⇒⎨
⎪
⎪ arg (z ′ − 1) + arg (z + 1)) = π[2π]
⎪
⎩

∣z ′ − 1∣ ∣z + 1∣ = 2 se traduit par AM ′ × BM = 2
→
→
→
arg (z ′ − 1) + arg (z + 1)) = π[2π] se