Corrigé de math

Pages: 7 (1554 mots) Publié le: 12 novembre 2012
Mathématiques - brevet de technicien supérieur session 2009 - groupement A Éléments de correction

Exercice 1 - (9 points)

1

1. On pose I =
0

t cos(nπt ) dt u(t ) = t donc v ′ (t ) = cos(nπt )
1

On pose

u ′ (t ) = 1 1 sin(nπt ) v(t ) = nπ 1 n 2 π2

et I =

1 t sin(nπt ) nπ cos(nπ) − 1 n 2 π2

1


0

1 nπ

1

sin(nπt )dt
0

t cos(nπt ) dt = 0 +
0 1

cos(nπt)

1 0

=

cos(nπ) . nπ 2. On considère la fonction f définie sur R , périodique de période 2,telle que : Pour la suite de l’exercice, on admet que : t sin(nπt ) dt = −
0

f (t ) = t f (t ) = 0 (a) Voir document réponse n°1.

sur [0; 1[ sur[1; 2[

(b) On appelle S f la série de Fourier associée à la fonction f .
+∞

On note S f (t ) = a0 +
n=1

[an cos(nπt ) + b n sin(nπt )] a0= an = 2 2 2 2
2

1 2

2

f (t ) dt =
0

1 2

1

t dt =
0 1

1 2

t2 2

1

=
0

1 4

f (t ) cos(nπt ) dt =
0 2 0

t cos(nπt ) dt =
1

cos(nπ) − 1 n 2 π2 cos(nπ) nπ

bn = Par conséquent :

f (t ) sin(nπt ) dt =
0 0

t sin(nπt ) dt = −

S f (t ) = (c)

1 +∞ cos(nπ) − 1 cos(nπ) + cos(nπt ) − sin(nπt ) 4 n=1 n 2 π2 nπ 1 2
2 0

2 µe f f =

[ f (t )]2 dt=

1 2

1 0

t 2 dt =

1 2

t3 3

1

=
0

1 6

(d) n an bn (e) a0 + A= 1 3 2 (a 2 + b n ) 2 n=1 n µ2 f f e 1 2 − 2 π 1 π 2 0 1 − 2π 3 2 − 2 9π 1 3π

≃ 0, 915

1

3. Soit g la fonction définie sur R , périodique de période 2, dont la courbe représentative Cg est tracée sur l’intervalle [−4; 4] dans le document réponse n°1. On admet que le développement en série de FourierS g (t ) associé à la fonction g , est défini par : S g (t ) = S f (−t ) On sait que : cos(−nπt ) = cos(nπt )car la fonction cosinus est paire sin(−nπt ) = − sin(nπt )car la fonction cosinus est impaire donc : cos(nπ) 1 +∞ cos(nπ) − 1 cos(nπ) 1 +∞ cos(nπ) − 1 cos(−nπt ) − sin(−nπt ) = + cos(nπt ) + sin(nπt ) S g (t ) = S f (−t ) = + 2 π2 2 π2 4 n=1 n nπ 4 n=1 n nπ 4. Soit h et k les fonctionsdéfinies sur R , périodiques de période 2, telles que : h(t ) = f (t ) + g (t ) et k(t ) = f (t ) − g (t )pour tout nombre réel t (a) Sur le document réponse n°1, à rendre avec la copie, tracer les courbes Ch h et k sur l’intervalle [−4; 4]. et Ck représentatives des fonctions et k,

(b) On admet que les développements en série de Fourier S h et S k associés respectivement aux fonctions h sont définis par: S h (t ) = S f (t ) + S g (t ) et S k (t ) = S f (t ) − S g (t ) ⋆ Le développement en série de Fourier de la fonction h est donc : S h (t ) = S f (t ) + S g (t ) = donc a0 = 2 +∞ 2cos(nπ) − 1 + cos(nπt ) 4 n=1 n 2 π2

2cos(nπ) − 1 1 an = bn = 0 2 n 2 π2 ⋆ Le développement en série de Fourier de la fonction k est donc : S h (t ) = S f (t ) − S g (t ) = donc a0 = 1 2 an = 0 bn = −2cos(nπ) nπ 2+∞ −2cos(nπ) + sin(nπt ) 4 n=1 nπ

Exercice 2 - (11 points)
Dans cet exercice, on étudie un système « entrée-sortie ». La partie A permet de déterminer la réponse à l’échelon unité. Les parties B et C permettent d’étudier les perturbations résultant d’une coupure de 0, 1 seconde. On rappelle que la fonction échelon unité est définie par : U (t ) = 0 U (t ) = 1 si t < 0 si t ≥ 0

et qu’unefonction définie sur R est dite causale si elle est nulle sur l’intervalle ] − ∞; 0[. Partie A : On considère la fonction causale s1 telle que, pour tout nombre réel t :
t

s1 (t ) +

0

s1 (u) du = U (t )

(E 1 )

On note S 1 la transformée de Laplace de la fonction s1 .

2

1. On sait d’après le formulaire que :

L [U (t )] =

1 p

t

et

L
0

s1 (u) du =

S 1 (p) pd’où, en prenant la transformée de Laplace de l’équation (E 1 ) S 1 (p) + S 1 (p) 1 = p p 1 1 S 1 (p) 1 + = p p S 1 (p) =
1 p

alors

1+

1 p

=

1 p +1

2. On en déduit d’après le formulaire que s1 (t ) = e−t U (t ) pour tout nombre réel t . La courbe représentative de la fonction s1 est donnée par la figure 1 du document réponse n°2. Partie B : On considère la fonction causale...
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