Durée : 4 heures

Corrigé du baccalauréat S Polynésie juin 2006

E XERCICE 1

5 points

1. Si z = −1, z =

z −1 ⇐⇒ z 2 + z = z − 1 ⇐⇒ z 2 = −1 ⇐⇒ z = i ou z = −i. z +1 Les points invariants par f sont les deux points d’affixes i et −i z −1 − 1 (z + 1) = z − 1 − z − 1 = −2. 2. a. z = −1, (z ′ − 1)(z + 1) = z +1 b. L’égalité de ces deux complexes entraîne l’égalité de leurs modules soit z ′ − 1)(z + 1) = | − 2| ⇐⇒ |z ′ − 1| × |z + 1| = 2 ⇐⇒ AM ′ × BM = 2. Même chose pour les arguments : arg[(z ′ − 1)(z + 1)] = arg(−2) ⇐⇒ → −− − −→ → −→ − − arg(z ′ − 1) + arg(z + 1) = π [2π] ⇐⇒ u , AM ′ + u , BM = π [2π].

3. M appartient au cercle (C) de centre B et de rayon 2 si et seulement si BM = 2 ⇐⇒ |z − (−1)| = 2 ⇐⇒ |z + 1| = 2. En reportant dans la première relation trouvée à la question précédente, il suit que 2AM ′ = 2 ⇐⇒ AM ′ = 1 qui signifie que M ′ appartient au cercle (C′ ) de centre A et de rayon 1. 4. a. p + 1 = −2 + 1 + i 3. D’où |p + 1|2 = 1 + 3 = 4 = 22 =⇒ |p + 1| = 2. Donc 2iπ 3 1 p +1 = 2 − +i = 2 cos 2π + i sin 2π = 2e 3 3 3 2 2 b. On vient de trouver que |p + 1| = 2 ⇐⇒ BP = 2 qui signifie que P appartient au cercle (C). c. Soit P1 le point d’affixe p + 1. Les points P1 et O sont les images respec→ − tives des points P et B dans la translation de vecteur u . (OBPP1 ) est donc −− −→ − → un parallélogrammme. Donc les vecteurs OP1 et BP ont la même affixe, 2π d’où le même argument d’après la a. et le même module 2. 3 D’autre part la construction classique (opposé du conjugué) montre que → − P et Q sont symétriques autour de l’axe O, v et B et A le sont aussi. → − Donc [BP] et[AQ] sont symétriques dans la symétrie autour de O, v . π → −→ − − Donc par supplémentarité u , AQ = 3 → − − → → −→ − − Or d’après 2. b. u , BP + u , AP′ = π. Conclusion : le point P′ appartient à la droite (AQ), ou encore les points A, P′ et Q sont alignés. d. On en déduit la construction simple de P′ : – Construire Q symétrique de P autour de l’axe des ordonnées ; – Le segment [AQ]