Durée : 4 heures

Corrigé du baccalauréat S Polynésie juin 2004
E XERCICE 1
Commun à tous les candidats

4 points

1. X suit la loi de durée de vie sans vieillissement ou encore loi exponentielle de paramètre λ ; donc p(X > 10) = e−10λ = 0, 286 ⇐⇒ −10λ = ln 0, 286 ln 0, 286
.
10
La calculatrice donne λ = 0, 125 à 10−3 près. ou encore λ = −

2. 6 mois = 0,5 année. On a donc p(X
0, 061.

0, 5) = 1 − e−0,125×0,5 = 1 − e−0,062 5 ≈

3. L’appareil ayant déjà fonctionné 8 ans, la probabilité qu’il ait une durée de p[(X > 10) ∩ (X > 8)] vie supérieure dix ans est égale à p (X >8 (X > 10) =
=
p(X > 8) p(X > 10) e−0,125×10
= −0,125×8 = e−0,125×2 ≈ 0, 779. p(X > 8) e 4. On a ici un schéma de Bernoulli, avec comme succès le fait pour un oscilloscope d’avoir une durée de vie supérieure à 10 ans, dont la probabilité est égale à 0,286 et un nombre d’appareils égal à 15.
La probabilité de n’avoir aucun oscilloscope en état de marche au bout de 10 ans est donc : (1 − 0, 286)15 = 0, 71415 .
Donc inversement la probabilité d’avoir au moins un oscilloscope en état de marche au bout de 10 ans est égale à :
1 − 0, 71415 ≈ 0, 994.
5. On reprend la question précédente avec non plus 15, mais n oscilloscopes.
La probabilité qu’au moins 1 sur les n oscilloscopes fonctionne après 10 ans est donc : 1 − 0, 714n .
Il faut chercher le plus petit naturel n tel que
1 − 0, 714n

0, 999 ⇐⇒ 0, 001

0, 714n ⇐⇒ ln 0, 001

(par croissance de la fonction ln), soit finalement
(car ln 0, 714 < 0).
La calculatrice donne 20, 5 n.
Le premier naturel convenant est donc 21.

ln 0, 001 ln 0, 714

n ln 0, 714 n Corrigé du baccalauréat S

A. P. M. E. P.

E XERCICE 2
Candidat n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

5 points

6
Γ2
4

→
−
v
−
O → u −4

6

9

12

I
+

−2

3

+

+

−3

+

2
B

Γ1

A

D

+

−6
C
−8
−10

1. a.

−12

zI − zA −2 − 4i 1 + 2i (1 + 2i)(−2 − i) −5i
=
=
=
=
= −i. zI − zB
4 − 2i i−2 (i − 2)(−2 − i)
5
IA
= 1 ⇐⇒ IA = IB.
On en déduit pour le module que |Z | = 1 ⇐⇒
IB
π π −
→ −
→
[2π],