Mathématiques - brevet de technicien supérieur session 2009 - groupement A Éléments de correction

Exercice 1 - (9 points)

1

1. On pose I =
0

t cos(nπt ) dt u(t ) = t donc v ′ (t ) = cos(nπt )
1

On pose

u ′ (t ) = 1 1 sin(nπt ) v(t ) = nπ 1 n 2 π2

et I =

1 t sin(nπt ) nπ cos(nπ) − 1 n 2 π2

1

−
0

1 nπ

1

sin(nπt )dt
0

t cos(nπt ) dt = 0 +
0 1

cos(nπt )

1 0

=

cos(nπ) . nπ 2. On considère la fonction f définie sur R , périodique de période 2,telle que : Pour la suite de l’exercice, on admet que : t sin(nπt ) dt = −
0

f (t ) = t f (t ) = 0 (a) Voir document réponse n°1.

sur [0; 1[ sur[1; 2[

(b) On appelle S f la série de Fourier associée à la fonction f .
+∞

On note S f (t ) = a0 + n=1 [an cos(nπt ) + b n sin(nπt )] a0 = an = 2 2 2 2
2

1 2

2

f (t ) dt =
0

1 2

1

t dt =
0 1

1 2

t2 2

1

=
0

1 4

f (t ) cos(nπt ) dt =
0 2 0

t cos(nπt ) dt =
1

cos(nπ) − 1 n 2 π2 cos(nπ) nπ

bn = Par conséquent :

f (t ) sin(nπt ) dt =
0 0

t sin(nπt ) dt = −

S f (t ) = (c)

1 +∞ cos(nπ) − 1 cos(nπ) + cos(nπt ) − sin(nπt ) 4 n=1 n 2 π2 nπ 1 2
2 0

2 µe f f =

[ f (t )]2 dt =

1 2

1 0

t 2 dt =

1 2

t3 3

1

=
0

1 6

(d) n an bn (e) a0 + A= 1 3 2 (a 2 + b n ) 2 n=1 n µ2 f f e 1 2 − 2 π 1 π 2 0 1 − 2π 3 2 − 2 9π 1 3π

≃ 0, 915

1

3. Soit g la fonction définie sur R , périodique de période 2, dont la courbe représentative Cg est tracée sur l’intervalle [−4; 4] dans le document réponse n°1. On admet que le développement en série de Fourier S g (t ) associé à la fonction g , est défini par : S g (t ) = S f (−t ) On sait que : cos(−nπt ) = cos(nπt )car la fonction cosinus est paire sin(−nπt ) = − sin(nπt )car la fonction cosinus est impaire donc : cos(nπ) 1 +∞ cos(nπ) − 1 cos(nπ) 1 +∞ cos(nπ) − 1 cos(−nπt ) − sin(−nπt ) = + cos(nπt ) + sin(nπt ) S g (t ) = S f (−t ) = + 2 π2 2 π2 4 n=1 n nπ 4 n=1 n nπ 4. Soit h et k les fonctions