Cours dérivation-tangente

443 mots 2 pages
DÉRIVATION – TANGENTE
Introduction
Nous avons constaté qu'en "zoomant" autour d'un point A placé sur une courbe cette courbe paraît "s'applatir", de même que la terre nous paraît plate de notre point de vue.
On peut donc, localement et si la courbe est suffisamment lisse, approcher la courbepar une droite qui "collera" à et passera par A. Reste à définir mathématiquement ces notions.

TANGENTE À UNE COURBE REPRÉSENTATIVE D'UNE FONCTION EN UN POINT Comment l'obtenir ? Soit formulela courbe d'une fonctiondans un repère et . On construit la sécante (AB) en prenant B sur. En rapprochant B de A, la sécante (AB) se rapproche de la tangente àpassant par A, lorsque c'est possible. Coefficient directeur de la tangente àen A Soit Soit un réelpositif ou négatif, proche de 0. Soit Donner le coefficient directeur de la sécante (AB) : Rapporcher B de A revient à faire tendrevers 0. Problème : on ne peut pas diviser par 0. Dans certains cas favorables, admettra une limite (finie !) quand tendra vers 0. On dira queest dérivable en. Cette limite finie sera le nombre dérivé deen, noté. Exemple : Soit et Calculer, si possible, le nombre dérivé ende la fonction carré. Le coefficient directeur de la sécante (AB) est : formule. Comme existe et vaut , on déduit quela fonctionest dérivable enet. La parabole représentant la fonction carré admet donc une tangente en tout point et le coefficient directeur de cette tangente est le double de l'abscisse du point A. Fonctions dérivées Définition Soit une fonctiondéfinie sur un intervalleet dérivable en tout pointd'un intervalleinclus dans I. On appellela fonction dérivée desur J, qui à tout pointdeassociequi est, rappelons-le, le coefficient directeur de la tangente àau point d'abscisse.

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