Dérivation
I-

Nombre dérivé, tangente
On note une fonction numérique définie sur un intervalle de ℝ a est un réel de .
1) Définition :
Soit ℎ un nombre réel non nul tel que + ℎ ∈ .
• On appelle taux d’accroissement de entre et

+ ℎ le rapport

ℎ =
•
•

On dit que la fonction est dérivable en lorsque le taux d’accroissement ℎ devient aussi proche que l’on veut d’un nombre réel lorsque ℎ tend vers 0
Le nombre est appelé nombre dérivé de en a et on note : =
=
lim ↦ ℎ

2) Détermination de ce nombre ( ou d’une valeur approchée) à l’aide de la calculatrice
Soit la fonction : ↦ ²
Sur CASIO :
Sur TI
Optn
math nbreDérivé(X²,X,3) F4 (CALC) d/dx(X²,3)
6
8: nbreDérivé
F2(d/dx) solve d/dx d²/dx
6
3) Interpretation graphique, tangente à la courbe
Soit f une fonction définie sur un intervalle de ℝ et un réel

∈ .

Soit ℎ ≠ 0 tel que + ℎ ∈ ; les deux points A et M distincts de la courbe définis par leurs coordonnées
;
et " + ℎ;
+ ℎ définissent une droite.
Le taux d’accroissement

ℎ =

est le coefficient directeur de la droite

" .
Lorsque ℎ tend vers 0, le point " se rapproche du point et la droite " se rapproche de la tangente en A à la courbe .
Le coefficient de cette tangente est donné par la valeur limite de ℎ lorsque ℎ tend vers 0, c’est-à-dire le nombre dérivé ′
Théorème :
Soit f une fonction dérivable en ∈ ⊂ % et
;
le point d’abscisse a de la courbe de . La tangente à la courbe au point A est la droite passant par A de coefficient directeur ′ .
L’équation réduite de cette tangente est donnée par & =
− +
.
Démonstration :