DENOMBREMENT

1050 mots 5 pages
Dénombrement
Démonstrations

Démonstration 01 (retour au cours)

Une permutation des éléments de E, est un n-uplet (a1 ; a2 ; ... ; an) d'élements de E deux à deux distincts.

Pour choisir le premier élément a1, on a n choix possibles puisque le cardinal de E est n.
Pour choisir le deuxième élément a2, on a n - 1 choix possibles puisqu'on ne peut pas reprendre l'élément déjà choisi pour a1.
Pour choisir le troisième élément a3, on a n - 2 choix possibles.
....
Pour choisir le dernier élément an, il ne restera plus qu'un seul choix possible.

(On peut imaginer un arbre pour écrire toutes les permutations de E)

Le nombre de permutations de E est alors : n x (n - 1) x (n - 2) x ... x 2 x 1

Démonstration 02 (retour au cours)

Soit E un ensemble à n éléments (n ³ 1)

 Il y a une seule partie à 0 éléments dans E, c'est la partie vide. Donc  = 1

 Il y a une seule partie à n éléments dans E, c'est la partie E elle-même, donc  = 1

 E possède n éléments, donc n parties à un élément. Donc  = n

 Pour obtenir une partie à (n - 1) éléments dans E, il faut enlever un élément à l'ensemble E. Comme E possède n éléments, on a n possibilités d'enlever un élément. L'ensemble E a donc n parties à (n - 1) éléments. Donc  = n

 Toute partie de E a un nombre d'éléments inférieur ou égal à celui de E. Si p > n , il n'existe donc dans E aucune partie ayant p éléments donc  = 0 .

 Si 0 £ p £ n, on peut remarquer que lorsqu'on choisit dans E une partie A ayant p éléments, on "laisse de coté" les (n - p) éléments qui n'appartiennent pas à A. Donc on crée, par élimination, une partie à (n - p) éléments. De même en prenant une partie à (n - p) éléments, on crée, par élimination, une partie à p éléments. On a donc, dans E, autant de parties à p éléments que de parties à (n - p) éléments.(n - p) Donc  = 

 Considérons un ensemble F ayant (n + 1) éléments, et choisissons un élément

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