DEVOIR-MAISON N°1

Le but du problème est de comparer les deux nombres suivants : A=

1, 000 0002 0, 999 999 6 et B = 1, 000 0004 0, 999 9998

Piste : 1. Soient ƒ et g les fonctions définies par : ƒ(x) =

1 + 2x 1 − 4x et g(x) = 1 + 4x 1 − 2x

a) Quels sont les ensembles de définition Dƒ et Dg des fonctions ƒ et g ? b) Que vaut ƒ(10−7) ? Que vaut g(10−7) ? 2. Pour comparer les nombres A et B, on va comparer les fonctions ƒ et g en étudiant la différence ƒ(x) − g(x). a) Démontrer que : ƒ(x) − g(x) =
12 x 2 . (1 + 4 x )(1 − 2 x )

b) Résoudre l'inéquation : ƒ(x) − g(x) > 0. c) En déduire le signe de ƒ(10−7) − g(10−7). d) Conclure.

DEVOIR-MAISON N°1 : CORRIGÉ
Le but du problème est de comparer les deux nombres suivants : A= 1, 000 000 2 0, 999 999 6 et B = 1, 000 000 4 0, 999 9998

1. Soient ƒ et g les fonctions définies par : ƒ(x) = 1 + 2x 1 − 4x et g(x) = 1 + 4x 1 − 2x \ {−

b) On a : ƒ(10−7) =

1, 000 000 2 0, 999 999 6 1 + 2 × 10−7 1 − 4 × 10 −7 = = = A et g(10−7) = = B. −7 −7 1, 000 000 4 0, 999 9998 1 + 4 × 10 1 − 2 × 10

2. Pour comparer les nombres A et B, on va comparer les fonctions ƒ et g en étudiant la différence ƒ(x) − g(x). a) ƒ(x) − g(x) = 1 + 2x 1 − 4x − . 1 + 4x 1 − 2x

En réduisant au même dénominateur, on obtient : ƒ(x) − g(x) =
(1 + 2 x )(1 − 2 x ) − (1 − 4 x )(1 + 4 x ) (1 − 4 x 2 ) − (1 − 16 x 2 ) 12 x 2 = = (1 + 4 x )(1 − 2 x ) (1 + 4 x )(1 − 2 x ) (1 + 4 x )(1 − 2 x )

b) Résolvons l'inéquation ƒ(x) − g(x) > 0. Pour cela, on fait un tableau de signes : x 12x2 1 + 4x 1 − 2x ƒ(x) − g(x) On a donc : S = ]− 1 1 ; [ \ {0}. 4 2 1 4 + 0 + + + 0 1 2 + + + + 0 + + − −

–∞ + − + –

–

0 0

c) Comme 10−7 ∈ S, on a : ƒ(10−7) − g(10−7) > 0. d) Comme ƒ(10−7) − g(10−7) = A − B (d'après la question 1b) et que ƒ(10−7) − g(10−7) > 0 (d'après la question 2c), on en déduit finalement que A − B > 0, c'est-à-dire : A > B.

a) Les ensembles de définition Dƒ et Dg des fonctions ƒ et g sont : Dƒ =

1 } et Dg = 4

\{