Seconde-Aide m´moire et m´thode e e

Fonctions polynˆmes de degr´ 2 o e

Rappel : une fonction polynˆme de degr´ 2 est une fonction d´finie sur R par f (x) = ax2 + bx + c avec a, b o e e et c r´els et a = 0. e

1

Forme canonique
La forme canonique de f est de la forme f (x) = a(x − α)2 + β. −b . avec α = 2a Exemple 1 : f est d´finie sur R par f (x) = x2 − 6x + 5 e On a (x − 3)2 = x2 − 6x + 9 donc f (x) = (x − 3)2 − 9 + 5 = (x − 3)2 − 4 (forme canonique avec α = 3 et β = −4) On peut aussi obtenir α avec les coefficients a, b et c. −b −(−6) On a ici : a = 1, b = −6 et c = 9 donc α = = =3 2a 2

2
2.1

Calcul des coordonn´es du sommet et tableau de variation e
A partir de la forme f (x) = ax2 + bx + c

Coordonn´es du sommet S : e −b Abscisse du sommet : xS = 2a Ordonn´e du sommet : yS = f (xS ) = ax2 + bxS + c e S Tableau de variation : La courbe repr´sentative de f est une parabole de sommet S admettant la droite e −b pour axe de sym´trie. e d’´quation x = e 2a On d´termine les variations de f avec le signe du coefficient a de x2 , il y a deux cas : e

2.2

A partir de la forme canonique f (x) = a(x − α)2 + β

Coordonn´es du sommet S : e Abscisse du sommet : xS = α Ordonn´e du sommet : yS = f (xS ) = β e Tableau de variation : La courbe repr´sentative de f est une parabole de sommet S admettant la droite e d’´quation x = α pour axe de sym´trie. e e On d´termine les variations de f avec le signe du coefficient a de x2 , il y a deux cas : e

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Fonctions polynˆmes de degr´ 2 o e

2.3

A partir de la forme factoris´e f (x) = a(x − x1 )(x − x2 ) e

Coordonn´es du sommet S : e x1 + x2 L’abscisse du sommet est le milieu de x1 et x2 : xS = 2 Ordonn´e du sommet : yS = f (xS ) e Tableau de variation : La courbe repr´sentative de f est une parabole de sommet S admettant la droite e d’´quation x = α pour axe de sym´trie. e e On d´termine les variations de f avec le signe du coefficient a de x2 , il y a deux cas :