Diff

Pages: 52 (16653 mots) Publié le: 1 août 2015
Les Mathématiques pour
l’Agrégation
C. Antonini
J.-F. Quint
P. Borgnat
J. Bérard
E. Lebeau
E. Souche
A. Chateau
O. Teytaud
14 février 2002

Table des matières
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Calcul différentiel
1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2 Applications à valeurs dans un produit d’espacesvectoriels
normés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.3 Applications de plusieurs variables et dérivées partielles . . .
1.2 Le théorème des accroissements finis . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Résultats principaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2 Applications : interversion de limite et de dérivation . . . . .
1.2.3 Applications : dérivéespartielles et dérivées . . . . . . . . . .
1.3 Théorème d’inversion locale et fonctions implicites . . . . . . . . . .
1.3.1 Théorème d’inversion globale . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.2 Théorème d’inversion locale . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.3 Théorème des fonctions implicites . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Dérivées d’ordre supérieur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.4.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.2 Dérivées secondes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.3 Généralisations à la dérivée n-ième . . . . . . . . . . . . . .
1.5 Zoologie du calcul différentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.1 Fonctions convexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.2 Fonction continue partout dérivablenulle part . . . . . . . . .
1.5.3 Fonction dérivable dans toutes les directions mais non continue
1.5.4 Variétés de Rn , théorème de Jordan . . . . . . . . . . . . . .
1.5.5 Espaces vectoriels normés de dimension finie . . . . . . . . .

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Extrema
2.1 Cadre et définitions . . . . . . . .
2.2 Résultats liés à la compacité . . .
2.3 Résultatsde calcul différentiel . .
2.3.1 Résultats au premier ordre
2.3.2 Résultats du second ordre
2.4 La convexité . . . . . . . . . . . .
2.5 Pour aller plus loin . . . . . . . .

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Equations différentielles
3.1 Lemmes préliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Equations différentielles d’ordre 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1Avec des hypothèses sympathiques sur f . . . . . . . . . . .

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43.2.2 Sans hypothèse sympathique sur f . . . . . . . . . . . . . . .
Equation différentielle d’ordre n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Zoologie des équations différentielles . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.1 Equation différentielle linéaire du premier ordre . . . . . . . .
3.4.2 Equations différentielles autonomes . . . . . . . . . . . . . .
3.4.3 Equation de la chaleur . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .
3.4.4 Equations à variables séparées . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.5 Equation de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.6 Equation de Ricatti (polynôme à coefficients dépendant de t de
degré 2 en x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.7 Equations homogènes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.8 Equation de Lagrange . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Formes différentielles
4.1 Généralités, rappels sur les applications multilinéaires . .
4.1.1 Définition d’une forme différentielle . . . . . . .
4.1.2 Propriétés des applications multilinéaires . . . .
4.1.3 Application de tout ça aux formes différentielles

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