Terminale S Pondichéry

Avril 2007

L’espace est rapporté au repère orthonormal (O ; i , j , k ) . On considère le plan P d’équation 2 x + y − 2 z + 4 = 0 et les points A de coordonnées ( 3, 2, 6 ) , B de coordonnées ( 1, 2, 4 ) et C de coordonnées ( 4, − 2, 5 ) . 1. a. Vérifier que les points A, B et C définissent un plan. b. Vérifier que ce plan est P. 2. a. Montrer que le triangle ABC est rectangle. b. Ecrire un système d’équations paramétriques de la droite ∆ passant par O et perpendiculaire au plan P. c. Soit K le projeté orthogonal de O sur P. Calculer la distance OK. d. Calculer le volume du tétraèdre OABC. 3. On considère dans cette question le système de points pondérés S = { ( O , 3 ) , ( A, 1 ) , ( B, 1 ) , ( C , 1 ) } . a. Vérifier que ce système admet un barycentre qu’on notera G. b. On note I le centre de gravité du triangle ABC. Montrer que G appartient à ( OI ) . c. Déterminer la distance de G au plan P. 4. Soit Γ l’ensemble des points M de l’espace vérifiant 3 M O + M A + M B + M C = 5 . Déterminer Γ . Quelle est la nature de l’ensemble des points communs à P et Γ ?

1. Dans cette question il est demandé au candidat d’exposer des connaissances. On suppose connus les résultats suivants : - la composée de deux similitudes planes est une similitude plane ; - la transformation réciproque d’une similitude plane est une similitude plane ; - une similitude plane qui laisse invariants trois points non alignés du plan est l’identité du plan. Soient A, B, C trois points non alignés du plan et s et s’ deux similitudes du plan telles que : s ( A ) = s ' A ) , s ( B ) = s ' B ) , s ( C ) = s 'C ) . ( ( (

Montrer que s = s ' . 2. Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal (O ; u, v ) . La figure sera complétée au fur et à mesure. On donne les points A d’affixe 2, E d’affixe 1 + i , F d’affixe 2 + i et G d’affixe 3 + i . a. Calculer les longueurs des côtés des triangles OAG et OEF. En déduire que ces triangles sont semblables. b. Montrer que