Partie A
La fonction h est définie sur l'intervalle [0 ; 8] par : h(x)= x^2+16x\2x+1-8ln(2x+1) •
1. Montrer que h’(x) = 2x (2x+5)(2x-3)\(2x+1)^2, h’ désignant la fonction dérivée de h sur l’intervalle [0 ;8].
2. Étudier les variations de h sur l'intervalle [0 ; 8].
3. Montrer que l'équation h(x) = 0 a une solution unique a dans l'intervalle [3\2 ;8] .
Déterminer une valeur approchée de (alpha) , arrondie à 0,01 près.
4. Déduire des résultats précédents le signe de h sur l'intervalle [0 ; 8] .
Partie B
La fonction M est définie sur l'intervalle [0 ; 8] par M(x) = x + 8\2x+1
La fonction CT est la primitive de la fonction M sur l'intervalle [0 ; 8] qui s'annule pour x= 0 . Calculer CT(x) .
Partie C
Une entreprise produit une quantité variable x d'appareils (x est exprimé en milliers d'appareils) dont le coût marginal M est la fonction définie dans la partie B. Dans la suite du problème, tous les coûts seront exprimés en milliers d'euros. On modélise le coût total de production de x milliers d'appareils, pour x appartenant à [1\4 ; 8] par la fonction CT définie dans la partie B.
1. a. Vérifier que le coût moyen, par milliers d'appareils, est défini sur l’intervalle [1\4 ;8] par Cm(x) = x\2+4(ln(2x+1)\x).
b. Calculer
1 = ^w
2x2
C’m(x), où C’m désigne-la fonction dérivée de Cm.
C. Montrer que, pour tout x de l'intervalle [1\4 ;8], Cm’(x)=h(x)\2x^2, ou h est la fonction étudiée dans la partie A.
, où h

d. Étudier les variations de la fonction Cm et dresser son tableau de varia-tion.
2. a. Pour quelle production, arrondie à la dizaine près, le coût moyen, par milliers d'appareils, est-il minimum ?
b. Vérifier que, pour cette valeur approchée de la production, le coût moyen et le coût marginal ont la même valeur, à 5 euros près.
3. Le graphique donné ci-après est celui de la courbe C représentative de la fonction M dans le repère (O ; i,j), où 2cm représentent
1 000 appareils sur l'axe des abscisses et 2 cm