DROITES

Pages: 7 (1659 mots) Publié le: 2 janvier 2015
DROITES


I. Equation de droites

1. Caractérisation analytique d’une droite

Propriété :
Soit (O,,) un repère du plan.
Soit D une droite du plan.

- Si D est parallèle à l’axe des ordonnées :
alors l’équation de D est de la forme x = c,
où c est un nombre réel.

- Si D n’est pas parallèle à l’axe des ordonnées :
alors l’équation de D est de la forme y = ax + b,
où a et bsont deux nombres réels.


Vocabulaire :
a est appelé le coefficient directeur de la droite D.
b est appelé l’ordonnée à l’origine de la droite D.

Démonstration :
Soit A et B deux points distincts d’une droite D.
Dire qu’un point M de coordonnées appartient à la droite D revient à dire que les vecteurs et sont colinéaires.
D’après la condition de colinéarité :.

- Si D estparallèle à l’axe des ordonnées, alors xA = xB.
La condition de colinéarité peut s’écrire :
Ce qui équivaut à car , les points A et B étant distincts.
D vérifie une équation de la forme avec c = xA .

- Si D n’est pas parallèle à l’axe des ordonnées, alors .
La condition de colinéarité peut s’écrire :
D vérifie une équation de la forme avec et .


Exemples :

La droite D a pour équation x= 3
La droite D’ a pour équation y = 3x + 2.
Son ordonnée à l’origine est 2 et son coefficient directeur est +3.





Exercices conseillés En devoir
Ex 1, 2 (page 9)
p201 n°1 à 4
p208 n°65
p202 n°9
p207 n°62

Activité conseillée
p184 n°1 : Équations de droites


Méthode : Représenter graphiquement une droite d’équation donnée
Soit (O, ,) un repère du plan.
Dans ce repère,tracer les droites d1, d2 et d3 d’équations respectives :
y = 2x + 3,
y = 4,
x = 3.

- La droite d1 d’équation y = 2x + 3 a pour ordonnée à l’origine 3. Donc le point A de coordonnée appartient à la droite d1.
Soit B le point d’abscisse -2 appartenant à la droite d1. Les coordonnées de B vérifient l’équation de d1, donc :
yB = 2x(-2) + 3 = -1.
Le point B de coordonnées appartient à ladroite d1.
On peut ainsi tracer la droite d1 passant par A et B.


- La droite d2 d’équation y = 4 est l’ensemble des points dont l’ordonnée est égale à 4. La droite d2 est donc la droite parallèle à l’axe des abscisses coupant l’axe des ordonnées au point de coordonnées .
Pour tracer la droite d2, on aurait également pu remarquer que son coefficient directeur est nul.


- La droite d3d’équation x = 3 est l’ensemble des points dont l’abscisse est égale à 3. La droite d3 est donc la droite parallèle à l’axe des ordonnées coupant l’axe des abscisses au point de coordonnées .













Exercices conseillés En devoir
p201 n°5 à 7
p202 n°8, 10*
p207 n°61
p208 n°66*
Ex 3 (page 9)


TP conseillé
TP TICE 1 p194 : Un réseau de droites
TP Algo 1 p197 :Rechercher une équation de droite


2. Conséquence :

Propriété :
Si A et B sont deux points distincts d’une droite D tel que alors la droite D a pour coefficient directeur


Méthode : Déterminer une équation de droite dont on connaît deux points
Soit (O, ,) un repère du plan.
Soit A et B deux points d’une droite d.
Déterminer une équation de la droite d.


Les points A et B sontd’abscisses différentes donc la droite d n’est pas parallèle à l’axe des ordonnées. Elle est donc de la forme y = ax + b, où a et b sont deux nombres réels.
Le coefficient directeur de d est
Comme A appartient à la droite d, ses coordonnées vérifient l’équation de d soit :
-1 = -6 x 4 + b.
D’où b = -1 + 6 x 4 = 23
Une équation de d est donc : y = – 6x + 23.

Exercices conseillés En devoirp202 n°18, 19, 20, 22*
p202 n°17
3. Propriété réciproque :

Propriété :
Soit (O,,) un repère du plan et a, b, c trois nombres réels, a étant non nul.
L’ensemble des points M du plan dont les coordonnées sont tels que :
y = ax + b ou x = c, est une droite.


Méthode : Vérifier si un point appartient à une droite d’équation donnée

Soit (O, ,) un repère du plan.
Les points A et B...
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