Mathématiques – Licence sciences économiques – 2009-2010 TD 5/6/7 – ex 1/6
− (2 + λ) −2 1 −2

ex 1 a) • valeurs propres : χ M (λ) = soit χ M (λ ) = − (2 + λ )

− 2 1− λ 1

− 2 − (2 + λ )

1− λ

−2

− 2 − (2 + λ)

– (−2)

−2

1

− 2 − (2 + λ)

+ 1×

−2

1

1− λ − 2

= – (2 + λ)( λ2 + λ − 6 ) + 2 (2λ + 6) + (3 + λ) = − λ3 − 3λ2 + 9λ + 27 = − (λ − 3)(λ + 3) 2 et Spec(M) = {–3,3}. • sous-espaces (vecteurs) propres : E λ = { X / (M – λI)X = 0} avec E λ ≠ {0}. x − 2y + z = 0   E − 3 : − 2 x + 4 y − 2z = 0 ; le système se ramène à la seule équation x – 2y + z = 0, d’où l’on  x − 2y + z = 0  x x   1 0         tire z = –x + 2y et  y  =  y  = x 0  + y1 ;  z   − x + 2y   −1  2         x  1  0         donc E − 3 = vect ⁄  0  ,  1  ∞ = {  y  / x, y ∈  }.  −1  2   − x + 2y       

 − 5x − 2 y + z = 0 L1  E 3 : − 2 x − 2 y − 2z = 0 L 2 ; par L 2 , z = – (x + y) et par substitution,  x − 2 y − 5z = 0 L 3   x   1      d’où y = –2x et z = x et E 3 = vect 〈  − 2  〉 = {  − 2 x  / x ∈  }.  1   x     

0 − 6 x − 3 y =  z = − ( x + y)   6 x + 3y = 0 

b) M admet trois vecteurs propres linéairement indépendants : elle est donc diagonalisable. ou dim E − 3 + dim E 3 = 2 + 1 = 3 = dim þ 3 ; M est diagonalisable. ou M est une matrice carrée réelle symétrique, donc elle est diagonalisable.
Il existe alors une matrice carrée inversible P d’ordre 3 telle que M = P D P −1 , avec 0 0 1 2 − 1 − 3  1 0 5      1  −1 D =  0 − 3 0  , P =  0 1 − 2  et P =  2 2 2 . 6  0 −1 2 0 3 1 1     1 −2 

c) il est classique que M −1 = (PDP −1 ) −1 = PD −1P −1 et M n = PD n P −1 .

joel gaden – SEG Lyon II

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Mathématiques – Licence sciences économiques – 2009-2010 TD 5/6/7 – ex 1/6
1 0 0  (−3) −1 0 0  − 3 0 0 − 3      1 1 −1 −1 • Or D =  0 (−3) 0  =  0 − 1 0  =  0 − 3 0  = D. 3  9 9     0  0 0 3 −1  