Econometrie
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Mathématiques – Licence sciences économiques – 2009-2010 TD 5/6/7 – ex 1/6− (2 + λ) −2 1 −2
ex 1 a) • valeurs propres : χ M (λ) = soit χ M (λ ) = − (2 + λ )
− 2 1− λ 1
− 2 − (2 + λ )
1− λ
−2
− 2 − (2 + λ)
– (−2)
−2
1
− 2 − (2 + λ)
+ 1×
−2
1
1− λ − 2
= – (2 + λ)( λ2 + λ − 6 ) + 2 (2λ + 6) + (3 + λ) = − λ3 − 3λ2 + 9λ + 27 = − (λ − 3)(λ + 3) 2 et Spec(M) = {–3,3}. • sous-espaces (vecteurs) propres : E λ = { X / (M – λI)X = 0} avec E λ ≠ {0}. x − 2y + z = 0 E − 3 : − 2 x + 4 y − 2z = 0 ; le système se ramène à la seule équation x – 2y + z = 0, d’où l’on x − 2y + z = 0 x x 1 0 tire z = –x + 2y et y = y = x 0 + y1 ; z − x + 2y −1 2 x 1 0 donc E − 3 = vect ⁄ 0 , 1 ∞ = { y / x, y ∈ }. −1 2 − x + 2y
− 5x − 2 y + z = 0 L1 E 3 : − 2 x − 2 y − 2z = 0 L 2 ; par L 2 , z = – (x + y) et par substitution, x − 2 y − 5z = 0 L 3 x 1 d’où y = –2x et z = x et E 3 = vect 〈 − 2 〉 = { − 2 x / x ∈ }. 1 x
0 − 6 x − 3 y = z = − ( x + y) 6 x + 3y = 0
b) M admet trois vecteurs propres linéairement indépendants : elle est donc diagonalisable. ou dim E − 3 + dim E 3 = 2 + 1 = 3 = dim þ 3 ; M est diagonalisable. ou M est une matrice carrée réelle symétrique, donc elle est diagonalisable.
Il existe alors une matrice carrée inversible P d’ordre 3 telle que M = P D P −1 , avec 0 0 1 2 − 1 − 3 1 0 5 1 −1 D = 0 − 3 0 , P = 0 1 − 2 et P = 2 2 2 . 6 0 −1 2 0 3 1 1 1 −2
c) il est classique que M −1 = (PDP −1 ) −1 = PD −1P −1 et M n = PD n P −1 .
joel gaden – SEG Lyon II
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Mathématiques – Licence sciences économiques – 2009-2010 TD 5/6/7 – ex 1/6
1 0 0 (−3) −1 0 0 − 3 0 0 − 3 1 1 −1 −1 • Or D = 0 (−3) 0 = 0 − 1 0 = 0 − 3 0 = D. 3 9 9 0 0 0 3 −1