Endomorphismes normaux
Notations. — Dans la suite K d´signe un corps commutatif de caract´ristique = 2 (et le plus e e souvent K = R ou C). 1. Endomorphismes remarquables d’un espace quadratique. D´finition . — On dit dit que le couple (E, φ) est un espace quadratique lorsque e E est un K-espace vectoriel et φ une forme bilin´aire sym´trique non d´g´n´r´e sur E, ie : e e e e e e ∀x ∈ E, (∀y ∈ E, φ(x, y) = 0 ⇒ x = 0). Dans la suite de cette section, on fixe (E, φ) un espace quadratique. D´finition . — Soit u ∈ L(E). S’il existe v ∈ L(E) tel que : e ∀x, y ∈ E, φ(u(x), y) = φ(x, v(y)), l’endomorphisme v est unique du fait du caract`re non d´g´n´r´ de φ. On dit alors que v est un e e e e e l’endomorphisme adjoint de u. On le note u∗ . Remarques. • Tous les endomorphismes n’admettent pas n´cessairement un adjoint (cf [Ram], e p.31) • Si u et v admettent des adjoints, il en est de mˆme de u ◦ v et (u ◦ v)∗ = v ∗ ◦ u∗ , u∗∗ = u. e • L’ensemble des endomorphismes de E admettant un adjoint est une sous-alg`bre de L(E). e L’application u → u∗ est lin´aire et involutive. e • Si u est un automorphisme de E et si u et u−1 admettent des adjoints, on a : (u∗ )−1 = (u−1 )∗ . Exercice 1. — Si u admet un adjoint et si H est un sous-espace stable de E par u, H ⊥ est stable par u∗ . Solution. Si y ∈ H ⊥ , x ∈ H, φ(x, u∗ (y)) = φ(u(x), y) = 0, puisque u(x) ∈ H;

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D´finitions . — • Un endomorphisme u de E est dit sym´trique (resp. antisym´trique) e e e ssi u∗ = u (resp. u∗ = −u). On note Sφ (E) et Aφ (E) les sous-ensembles des endomorphismes de E sym´triques et antisym´triques. Ce sont deux sous-espaces suppl´mentaires de l’espace des e e e ∗ endomorphismes admettant un adjoint (poser u = 1/2(u + u ) + 1/2(u − u∗ )). • On dit qu’un automorphisme u de E est orthogonal ssi u admet un adjoint et u∗ = u−1 . D´finitions . — On dit qu’un endomorphisme u de E est normal ssi u admet un adjoint et e u et u∗ commutent. Remarques . — • Un endomorphisme sym´trique, antisym´trique ou orthogonal