Équations de degré 2 (niveau Première) - cours

I. Une équation de degré 2, d'inconnue x, sous forme développée,

s'écrit ax² + bx + c = 0, où a, b et c sont des nombres connus avec a≠0

Résoudre dans ℝ une équation d'inconnue x, c'est trouver les solutions réelles, c'est-à-dire les valeurs des réels x qui rendent l'égalité correcte.

Exemple: 3x² - 2x - 5 = 0 est une équation de degré 2.

En remplaçant x par 1 dans 3 x² - 2x - 5, on obtient - 4.
Le nombre 1 ne rend pas l'égalité correcte.
Donc 1 n'est pas une solution de l'équation 3x² - 2x - 5 = 0

Tandis que, en remplaçant x par - 1 dans 3x² - 2x - 5, on obtient 0.
Le nombre - 1 rend l'égalité correcte.
Donc - 1 est une solution de l'équation 3x² - 2x - 5 = 0

II. RÉSOUDRE l'ÉQUATION de degré 2,

ax²+ bx + c = 0 avec a≠0

procédure

On calcule le DISCRIMINANT b² - 4ac, noté souvent Δ, puis il suffit de regarder le signe de Δ et de connaître le tableau suivant pour pouvoir conclure :

Δ = b²-4ac

si Δ > 0 (son signe est +)

on peut conclure :

l'équation a deux solutions réelles

calcul de ces solutions:

Δ, positif, est le carré d'un nombre, soit Δ = r²

si Δ = 0

on peut conclure :

l'équation a une solution unique réelle

calcul de cette solution:

si Δ < 0 (son signe est -)

on peut conclure :

l'équation n'a aucune solution réelle

Exemples:

a) x² + x + 1 = 0 est une équation de degré 2; son discriminant est Δ = - 3; Δ est négatif et non nul.

Donc l'équation x² + x + 1 = 0 n'a pas de solution dans ℝ

b) - x² + x + 30 = 0 est une équation de degré 2; son discriminant est Δ = 1² - 4(-30) = 121;

Δ est positif non nul, et Δ est le carré de 11.

Donc l'équation - x² + x + 30 = 0 admet 2 solutions dans ℝ

Calcul de ces solutions :

donc l'équation - x² + x + 30 = 0 a pour solutions - 5 et 6

III. CAS PARTICULIERS

Dans certains cas, il n'est PAS UTILE de CALCULER Δ

Exemple 1:

x² - 5x = 0 est une équation de