RESOLUTION DES EQUATIONS DIFFERENTIELLES

I- Problème

On est amené en classe de Terminale S, en mécanique comme en électromagnétisme à modéliser un phénomène et par la suite à comparer un résultat expérimental avec ce modèle. Nombreux sont les modèles qui débouchent sur la résolution d'une équation différentielle. De nombreux logiciels de saisies et de traitement de données résolvent graphiquement les équations différentielles et permettent la superposition d'une courbe expérimentale avec la résolution graphique de l'équation différentielle. Il peut être intéressant pour un élève de Terminale S de connaître une des méthodes employées pour la résolution de ces équations différentielles et d'en cerner les limites.

II- Objectif

Il s'agit de résoudre numériquement une équation différentielle par la méthode d' EULER en parallèle avec le cours de mathématique dans lequel on utilise une méthode analytique pour la résolution.
On comparera la solution numérique avec la solution analytique en montrant l'influence du pas de calcul sur la pertinence de la solution. On peut choisir comme exemple la réponse d'un dipôle RC à un échelon de tension (ici, la charge d'un condensateur ) qui débouche sur l'équation différentielle :
U + R.C. = Ug avec R, la résistance du circuit, C la capacité, U la tension aux bornes du condensateur et U0 l'échelon de tension. Cette résolution peut s'effectuer sur les calculatrices que possèdent les élèves ou à l'aide d'un tableur comme EXCEL.

III- Principe

A une date t donnée, on suppose que la dérivée première dU/dt est constante pendant un cours intervalle de temps t.
A partir de l'équation différentielle et des conditions initiales, on calcule la valeur de la dérivée première puis on calcule par intégration la valeur de la tension U à la date t + t.
On recommence en considérant la date suivante, t + t ; les valeurs de la dérivée première et de U constituent les nouvelles conditions initiales. Et ainsi des