Espace vect

Pages: 8 (1797 mots) Publié le: 15 janvier 2014
Chapitre 1
Espaces vectoriels

7

8

CHAPITRE 1. ESPACES VECTORIELS

Dans tout ce chapitre K est le corps de base, il d´signe soit le corps des
e
r´els R soit le corps des complexes C.
e

1.1

G´n´ralit´s
e e
e

D´finition. (Espace vectoriel) On appelle espace vectoriel sur un corps K
e
tout ensemble E muni de deux lois + et · v´rifiant :
e
1. (E, +) est un groupecommutatif (cad, + est une loi interne qui est
associative, poss´dant un ´l´ment neutre, et tel que tout ´l´ment a un
e
ee
ee
inverse),
2. pour tout (λ, µ) dans K2 , pour tout x dans E, λ · (µ · x) = (λµ) · x et
1 · x = x,
3. · distributive par rapport ` + dans E et par rapport ` + dans K.
a
a

Exemples :
– Rn et Cn sont des espaces vectoriels quelque soit l’entier n. Ce sont des
espacesvectoriels de dimension finie.
– L’ensemble C 0 ([0, 1], R) des fonctions continues de [0, 1] dans R est un
espace vectoriel. Plus g´n´ralement, soit X inclus dans un K-espace vece e
toriel, E un K-espace vectoriel, alors l’ensemble F(K, E) des fonctions
de K dans E est un K-espace vectoriel.
– RN , l’ensemble des suites r´elles, est un R-espace vectoriel.
e
– R[X], l’ensemble des polynˆmes acoefficients r´els, est un R-espace
o
`
e
vectoriel.
D´finition. (Sous espace vectoriel) Soit E un espace vectoriel. On dit que F
e
est un sous-espace vectoriel de E, si c’est un espace vectoriel et que F ⊂ E.
Exemple : R2 est un sous-espace vectoriel de R3 .
Pour montrer qu’un ensemble est un espace vectoriel, il suffit souvent de
montrer que c’est un sous-espace vectoriel d’un espacevectoriel connu. Pour
cela, on utilise le th´or`me suivant.
e e
Th´or`me. (Caract´risation des sous-espaces) Soit E un espace vectoriel.
e e
e
Soit F un ensemble tel que :
i) F ⊂ E,
ii) 0E ∈ F ,
iii) ∀(α, β) ∈ K2 , ∀(x, y) ∈ F 2 , αx + βy ∈ F
Alors F est un espace vectoriel, c’est un sous-espace vectoriel de E.

´ ´
1.2. FAMILLES LIBRES, GENERATRICES, BASES

9

Remarque : Pour savoir, siun espace est un espace vectoriel ou non, il
suffit souvent de regarder la pr´sence du 0.
e
Exemples : Rn [X] est un sous-espace vectoriel de R[X] et C 1 (R, R) est
un sous-espace vectoriel de C 0 (R, R).
Par contre, l’ensemble des polynˆmes de degr´s n n’est pas un espace
o
e
vectoriel (0 n’est pas dedans).
Exercice : Quels sont parmi les espaces suivants ceux qui sont des espacesvectoriels :
– A l’ensemble des suites r´elles v´rifiant un+2 = 2un+1 + un .
e
e
￿￿
– L’ensemble des solutions de y + ay = 0 o` a est une fonction continue.
u
– L’ensemble des solutions de y ￿￿ + ay = b o` b est une fonction continue
u
non identiquement nulle.
– L’ensemble P R[X] o` P d´signe un polynˆme.
u
e
o
Exercice : Quels sont les sous-espaces vectoriels de R , de R2 et de R3 ?Proposition. L’intersection quelconque de sous-espaces vectoriels est un
sous-espace vectoriel.
Remarque : Ceci est g´n´ralement faux pour l’union ! ! !
e e
D´finition. Soit (x1 , x2 , ..., xn ) ∈ E n , nous notons V ect(x1 , x2 , ..., xn ) l’ene
semble des combinaisons lin´aires des xi :
e
V ect(x1 , x2 , ..., xn ) = {x ∈ E | ∃(λ1 , λ2 , ..., λn ) ∈ Kn , x = λ1 x1 +λ2 x2 +...+λn xn }.

1.2Familles libres, g´n´ratrices, bases
e e

Dans toute la suite sauf mention contraire, E d´signe un K espace vectoe
riel quelconque. Soit I un ensemble quelconque d’indices.
D´finition. Soit (ai )i∈I une famille d’´l´ments de E. On dit que la famille
e
ee
(ai )i∈I est
– libre si pour toute famille finie de scalaires (λj )i∈J (ici J ⊂ I), on a
￿
j∈J λj aj = 0 implique ∀j ∈ J, λj = 0. Sielle n’est pas libre, on dit
que la famille li´e li´e.
e e
– g´n´ratrice si ∀x ∈ E, il existe une famille finie de scalaires (λj )i∈J
e e
￿
(ici J ⊂ I), telle que x = j∈J λj aj .
– une base de E si elle est ` la fois libre et g´n´ratrice.
a
e e
Proposition. La famille (ai )i∈I est une base de E si et seulement si tout
´l´ment de E s’´crit de mani`re unique comme une combinaison lin´aire...
Lire le document complet

Veuillez vous inscrire pour avoir accès au document.

Vous pouvez également trouver ces documents utiles

  • Espace
  • Espace
  • Espaces
  • Espace
  • Espace
  • Espaces
  • espace
  • Espace

Devenez membre d'Etudier

Inscrivez-vous
c'est gratuit !