Etudiante

Pages: 12 (2782 mots) Publié le: 1 février 2011
Correction feuille d'exercices 1

28 mars 2008
Exercice 1.

1)A = B =

2 1

1 1 AB = BA = 5 3 3 2

2)A = 2 1 1 , B = 1 3 1 On ne peut pas multiplier des vecteurs lignes entre eux, par contre on peut multiplier des vecteurs lignes et des vecteurs colonnes. Donc on peut donner un sens à :
At B = (2 × 1 + 1 × 3 + 1 × 1) = (6) B t A = 1 × 2 + 3 × 1 + 1 × 1) = (6)

Où t M est latransposée de la matrice M Et également :
 2 6 2 t AB =  1 3 1  1 3 1   2 1 1 t BA =  6 3 3  2 1 1 

3)C'est le même exercice que ci-dessus. 4)A =
2 1 1 1 1 2

,B=

2 1

1 1

AB n'a pas de sens.
BA = 5 3 3 2 5 3

1 5)A =  0 3



2 −1 1

  1 1 2 , B =  2 1 1

 0 −1  BA n'a pas de sens. 1   6 −1 AB =  0 3  6 0 2 1 1 1 · 1 −1 −1 2

Exercice 2.

Il sut de faireles calculs de
1 0 0 1

et de

1 −1

−1 2

·

2 1

1 1

On

obtient bien dans les 2 cas I2 =

Exercice 3. C'est un exercice avec ressource intermédiaire. Par exemple A a besoin de 2W +3X +1Y +1Z et donc d'après le deuxième tableau, en notant E, P et G pour Electricité, Pétrole et Gaz, A a besoin de

deuxième tableau. Il sut donc de multiplier la première matrice (premiertableau) par la deuxième pour obtenir le tableau de A,B en fonction de E,P et G : Electricité Pétrole Gaz
A B 16 25 10 12 19 30

2(5E + 3P + 6G) + 3(1E + 0P + 1G) + 1(0E + 4P + 0G) + 1(3E + 0P + 4G) = (10 + 3 + 0 + 3)E + (6 + 0 + 4 + 0)P + (12 + 3 + 0 + 4)G on retrouve exactement la multiplication de la ligne A par chaque colonne du

1

C'est le même exercice que le précédent, attention à laprésentation, il faut prendre la transposée du premier tableau. Le résultat est :
Exercice 4.

Electricité Pétrole Gaz
A B C 10 15 5 5 14 4 3 9 3

Exercice 5. On va écrire les équations : le secteur A a une production de a euros qui sont répartis aux consommateurs et au secteur B d'où l'équation vériée par a lorque l'industrie A satisfait la demande :

a = 1000 · 106 + 0.1 · b

De mêmelorsque l'industrie B satisfait la demande, b vérie l'équation
b = 780 · 106 + 0.2 · a

Pour obtenir l'équilibre entre la demande et la production, on doit vérier ces 2 équations, (a,b) doit donc être solution du système de 2 équations et 2 inconnues :
a = 1000 · 106 + 0.1 · b b = 780 · 106 + 0.2 · a

soit après résolution :

a = 1100 · 106 b = 900 · 106

Ici encore c'est un exercice demise en équation. L'eau évolue à une vitesse Ve , que l'on compte dans le sens Rheinfall-Rheinau. Le bateau a une vitesse Vb par rapport à l'eau. Pour l'aller le bateau met 1/3 d'heure pour faire 8 kilomètres. Le bateau évolue par rapport au sol à une vitesse de Vb + Ve soit (comme les vitesses sont constantes)
Exercice 6.

Vb + Ve =

8 = 24 1/3

Au retour le bateau met 2/3 d'heure pourfaire 8 kilomètres. comme on a compté la vitesse de l'eau de Rheinfall-Rheinau, l'équation est :
Vb − Ve = 8 = 12 2/3

Nous avons donc 2 équations et 2 inconnues, la résolution nous donne :
Vb = 18km/h,
Remarque :

Ve = 6km/h

la direction Rheinfall-Rheinau.

Ve par −Ve dans les équations, et trouvé Ve = −6km/h ce qui signie simplement que l'eau coule bien dans

on aurait très bien pucompter la vitesse de l'eau dans l'autre sens, on aurait alors remplacé

Exercice 7. La première étape est de traduire le diagramme par une matrice. On écrit un tableau à double entrée 4 × 4. Sur la ligne i et la colonnes j on écrit le nombre de chemins directs (cad de èches) allant de i à j. Ici seuls 2 cas sont possibles, il y a 1 èche ou aucune. On obtient donc la matrice :

0  1 A=  0 0Remarque :



1 0 1 0

1 0 0 1

 1 1   0  0

On aurait pu faire le choix inverse, c'est a dire écrire à la colonne j et la ligne i les chemins allant de j vers i. On aurait alors obtenu la transposée de cette matrice. Le tout est de faire un choix clair au début puis de s'y tenir. Maintenant, le calcul de An nous donne la matrice dont le coecient de la i-eme ligne et j-eme...
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