Équations aux dérivées partielles
Exercice 1845 Résoudre à l'aide des coordonnées polaires l'équation aux dérivées partielles :
[pic]

Exercice 1846 Résoudre l'équation des cordes vibrantes : [pic]à l'aide du changement de variables [pic]et [pic](on suppose que [pic]est [pic]).

Exercice 1847 Résoudre l'équation aux dérivées partielles :
[pic]
en passant en coordonnées polaires.

Exercice 1848 Résoudre en utilisant le changement de variable [pic]l'équation aux dérivées partielles suivante :
[pic]

Exercice 1849 Soit [pic]une application [pic]homogène de degré [pic], i.e. telle que :
[pic]
Montrer que les dérivées partielles de [pic]sont homogènes de degré [pic]et :
[pic]

Exercice 1850 Soit [pic]dérivable. On pose [pic].
Calculer [pic].

Exercice 1851 Soit [pic]une fonction [pic]. On pose [pic].
Calculer [pic]en fonction de [pic].

Exercice 1852 On cherche les fonctions [pic]telles que:
|[pic] pour tout [pic][pic] |(2) |

Soit [pic]l'application définie par [pic]. 1. En calculant l'application réciproque, montrer que [pic]est bijective. Vérifier que [pic]et [pic]sont de classe [pic]. 2. Soit [pic]une fonction de classe [pic]. Posons [pic]. 1. Montrer que [pic]est de classe [pic]. 2. Montrer que [pic]est solution de ([pic]) si et seulement si [pic]. 3. Soit [pic]une fonction de classe [pic]. Montrer que [pic]vérifie ([pic]) si et seulement s'il existe une fonction [pic]de classe [pic]telle que [pic]pour tout [pic].

Exercice 1853 Soient [pic]différentiable et [pic]définie par [pic].
Montrer que [pic]est dérivable sur [pic]et calculer sa dérivée en fonction des dérivées partielles de [pic].

Exercice 1854 Soient [pic]et [pic]. On définit la fonction
[pic]
1. Montrer que [pic]et [pic]sont des ouverts de [pic]et que [pic]est de classe [pic]et bijective de [pic]sur [pic]. Déterminer [pic]. 2. Soit