Exercices sur la fonction exponentielle
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Exercices sur la fonction exponentielle Exercice 1 : Ecrire sous la forme d’une puissance de e les expressions suivantes : 4 e7 -3 (e-1) a) 2 b) c) (exp(e2)) e e d) e2exp(-3) e) e-3 × exp(2) f) exp(1) × exp(-2) Exercice 2 : Ecrire plus simplement chacun des nombres suivants : 2 a) ln exp - b) exp(ln(3) – 1) c) e5 ln 3 – 3eln 7 3 e2 ln 3 e3 d) ln 8 e) 4 + ln 3 e e Exercice 3 : Résoudre dans ! les équations suivantes : a) exp(2x – 3) = 1 b) ex = 2 c) e-2x = -2 d) exp(3x + 1) = e1– 5x 4x + 1 e) e =3 f) e2x = e-x Exercice 4 : Résoudre dans ! les équations suivantes : 2 2 b) ex – 16 = 144 a) (ex) – 3ex + 2 = 0 c) e(x – 4)(2x – 1) = e d) e-x + ex = 2 6 e) ex – 5 + x = 0 f) 2ex(ex – 6e-x) = 5ex e Exercice 5 : Résoudre dans ! les inéquations suivantes :1
Exercice 7 : Calculer les limites suivantes : 2 a) lim (e3x – 2ex + 4) b) lim e-2x – x + 1 c) lim (e-x – 3e2x – 2) e) lim – e x→0 x → –∞ 1 x x → –∞ x → –∞ x→0
d) lim –
1 e –1 x Exercice 8 : 1. Démontrer que : ex + 1 1 + e-x = . ex – 1 1 – e-x 2. Utiliser l’écriture la plus adaptée pour calculer les limites suivantes : ex + 1 ex + 1 a) lim x b) lim x x → +∞ e – 1 x → –∞ e – 1 x e +1 ex + 1 c) lim + x d) lim – x x→0 e – 1 x→0 e – 1 pour tout réel x ≠ 0, Exercice 9 : Valider ou infirmer les propositions suivantes : 1. x a exp(x2) est la dérivée de la fonction f définie sur ! par : f(x) = exp(x2) 2. x a - e-x est la dérivée de la fonction g définie sur ! par : g(x) = e-x 1 3. x a - 2x est la dérivée de la fonction h définie sur ! par : e 1 h(x) = x e 4. x a (3x2 – 1)exp(x3 – x + 1) est la dérivée de la fonction k définie sur ! 3 par : k(x) = ex – x + 1 Exercice 10 : Déterminer la dérivée de chacune des fonctions définies cidessous en précisant dans chaque cas l’ensemble de validité des calculs. b) g(x) = e2x – 3ex + 4 a) f(x) = e-x 1 c) h(x) = (x + 1)ex d) k(x) = exp x e) m(x) = ln(3 + e-x)
a) e3x + 1 > 0 d) exp(3x + 14) > -3
b) e 2 ≤ -2 2x + 2 e) e – e3x – 5 < 0
x+1
c)