I. Définition de la fonction exponentielle
Soit (E) l'équation différentielle f'(x) = f(x) avec f(0) = 1. On admet qu'il existe une fonction solution de cette equation.
Lemme
Si f est une fonction solution de (E), alors pour tout x, f(x) \neq 0.
Propriété et définition :
Il y a une unique fonction solution de (E). Cette solution est appelé fonction exponentielle et est notée \exp.

Démonstration :
Soit f une fonction solution de (E) et on pose g(x) = f(x)f(- x) g est défini sur \mathbb{R}, dérivable et : g'(x) = f'(x)f(- x) + f(x) \( - f'(- x) \) \\ g'(x) = f(x) f(-x) - f(x) f'(- x) \\ g'(x) = 0 donc g est constante sur \mathbb{R}. g(0) = f(0) \times f(0) = 1
Pour tout x réel, f(x) \times f(- x) = 1 donc pour tout réel x, f(x) \neq 0 et f(- x) = \dfrac{1}{f(x)}.
Conséquence :
(\exp)' = \exp
\exp (0) = 1
\exp est une fonction strictement positive.

La dernière conséquence vient du fait que cette fonction est continue sur R (car dérivable) et ne s'annnule pas.

II. Propriété algébrique de l'exponentielle
Propriété 1
Pour tous réels a et b
\exp(a + b) = \exp (a) \exp (b)

Démonstration de la propriété 1 :
Soit la fonction g(x) = \dfrac{\exp(a + x)}{\exp(a)} g est dérivable sur \mathbb{R}. g'(x) = \dfrac{1 \times \exp(a + x)}{\exp(a)} = g(x) et g(0) = \dfrac{\exp(a)}{\exp(a)} = 1 d'où \dfrac{\exp(a + x)}{\exp(a)} = \exp(x) car \exp(a + x) = \exp(a) \times \exp (x) pour tout réel x donc \dfrac{\exp(a + x)}{\exp(a)} = \dfrac{\exp(a) \times \exp(x)}{\exp(a)} = \exp(x)
Propriété 2
Pour tous réels a et b
\exp(-a) = \dfrac{1}{\exp(a)} \\ \exp \left( {a - b} \right) = \dfrac{\exp(a)}{\exp(b)} \\ \exp (na) = (\exp a)^n

Démonstration de la propriété 2 :
* \exp(a - b) = \dfrac{\exp(a)}{\exp(b)}
\exp(a - b) = \exp[a + (-b)] = \exp(a) \times \dfrac{1}{\exp(b)} = \dfrac{\exp(a)}{\exp(b)}

* \exp(na) = (\exp a)^n} (On procède par raisonnement par récurrence) a \in \mathbb{R}, \, n \in \mathbb{Z}
Pour n = 2, \exp(2a)