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Enoncés

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Morphisme de groupes
Exercice 1 [ 02218 ] [correction] Soit n ∈ N et f : R → R définie par f (x) = xn . Montrer que f est un endomorphisme du groupe (R , ×). En déterminer image et noyau. Exercice 2 [ 02219 ] [correction] Justifier que exp : C → C est un morphisme du groupe (C, +) vers (C , ×). En déterminer image et noyau. Exercice 3 [ 02220 ] [correction] Soit G un groupe noté multiplicativement. Pour a ∈ G, on note τa l’application de G vers G définie par τa (x) = axa−1 . a) Montrer que τa est un endomorphisme du groupe (G, ×). b) Vérifier que ∀a, b ∈ G, τa ◦ τb = τab c) Montrer que τa est bijective et déterminer son application réciproque. d) En déduire que T = {τa | a ∈ G} muni du produit de composition est un groupe. Exercice 4 [ 02221 ] [correction] Soit (G, ), (G , ) deux groupes et f : G → G un morphisme de groupes. a) Montrer que pour tout sous-groupe H de G, f (H) est un sous-groupe de (G , ). b) Montrer que pour tout sous-groupe H de G , f −1 (H ) est un sous-groupe de (G, ). Exercice 5 [ 02222 ] [correction] On note Aut(G) l’ensemble des automorphismes d’un groupe (G, ). Montrer que Aut(G) est un sous-groupe de (S(G), ◦). Exercice 6 [ 02223 ] [correction] Soit (G, ) un groupe et a ∈ G. On définit une loi de composition interne sur G par x y = x a y. a) Montrer que (G, ) est un groupe. b) Soit H un sous groupe de (G, ) et K = sym(a) H = {sym(a) x/x ∈ H}. Montrer que K est un sous groupe de (G, ). c) Montrer que f : x → x sym(a) est un isomorphisme de (G, ) vers (G, ).

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Corrections

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Corrections
Exercice 1 : [énoncé] f (xy) = (xy)n = xn y n = f (x)f (y) donc f est une endomorphisme de (R , ×). ker f = f −1 ({1}) et Imf = {xn /x ∈ R }. Si n est pair alors ker f = {1, −1} et Imf = R+ . Si n est impair alors ker f = {1} et Imf = R .

Exercice 2 : [énoncé] On sait ∀x, y ∈ C, exp(x + y) = exp(x) exp(y) donc exp : C → C