Fiche restitution organisées de connaissances math, série s (bac)

Pages: 8 (1761 mots) Publié le: 30 mai 2010
Les Restitutions organisées de connaissances.
Les suites

« La suite (un) est bornée ssi il existe un réel M0 tel que pour tout n de ℕ, |un| ≤M0. »
On suppose qu’il existe un M0 tel que pour tout n de ℕ, |un| ≤M0. 
On montre qu’il existe deux réels m et M tels que pour tout n de ℕ m≤un≤M
|un| ≤M0 donc par définition de la valeur absolue on a - M0≤ un≤M0
On pose m=-Mo et M=Mo
Donc pouttout n de ℕ : m≤un≤M.

(réciproque) On suppose qu’il existe m et M tels que pour tout n de ℕ, m≤un≤M.
On montre qu’il existe un réel M0 tel que pour tout n de ℕ, |un| ≤M0. 
On pose M0= Max(|m|,|M|)
On a –M0≤m≤un≤M≤M0 donc –M0≤un≤M0 et donc |un| ≤M0. 

« Toute suite croissante (décroissante) non majorée (minorée) tend vers +∞ (-∞) »
Suite majorée : Il existe un réel M tel que pour tout n deℕ, un≤M
Donc suite non majorée : Pour tout réel M, il existe un n de ℕ tel que un>M
(un) est croissante donc un+1≥un ( pour tout n⋲ℕ et p⋲ℕ si nA.
Or (un) est non majorée donc il existe un n0 tel que un0>A
De plus (un) est croissante donc pour tout n≥n0, un≥un0.
Ainsi pour tout entier n≥n0, un.≥un0.>A donc un>A .
Donc limn→+∞(un)=+∞

« Soient (un) et (vn) deux suites telles que un≥vn(un≤vn) à partir d’un cerain rang.
Si limn→+∞(vn)=+∞ (-∞) alors limn→+∞(un)=+∞ (-∞) »
Soit A un réel quelconque on cherche un entier n0 tel que pour tout entier n≥n0, un0.>A.
Or u un≥vn à partir d’un certain rang n1 c.a.d pour tout n≥n1, un≥vn.
De plus limn→+∞(vn)=+∞ donc il existe un rang n2.tel que pour tout n≥n2, vn>A.
On pose n0.=Max(|n1|,|n2|). Ainsi pour tout entier n≥n0, un≥vn>ADonc un>A et donc limn→+∞(un)=+∞

« Soient (un), (vn) et (wn) trois suites telles que vn≤un≤wn à partir d’un certain rang.
Si limn→+∞(vn)=limn→+∞(wn)=l alors  limn→+∞(un)=l »
Soit ℇ un réel strictement positif.
On cherche un entier n0.tel que pour tout n≥n0, un. ⋲ ] ℓ -ℇ ; ℓ +ℇ [ c.a.d ℓ -ℇx et par th. de comparaison limx⟶+∞ex=+∞
En - ∞ :on pose X = - x alors limx⟶-∞X=+∞ et limx⟶-∞ex=limX⟶+∞1eX=0
«  limx⟶0ex-1x=1 »
(e0)'=e0=1 et limx→0ex-1x=limx→0e(0=x)-e0x=(e0)'=1 car c’est la limite du taux de variation et donc le nb dérivé de exen 0.

x | -∞ 0 +∞ |
g'(x) | + |
g(x) | 1 |
« Croissance comparée »
En +∞ : on pose gx=ex-x22 donc g'x=ex-x ; or ex>x donc g'x>0 d’oùle tableau :
Donc pour tout x>0 on a gx>0 donc ex>x²2 donc exx>x2
Par th de comparaison : limx→+∞exx=+∞
En - ∞ : on pose X = - x alors limx⟶-∞X=+∞ et limX⟶+∞-XeX=0 donc par composée : limx→-∞xex=0

La fonction logarithme

« la fonction ln est strictement croissante sur ]0 ;+∞[»
Soit a et b dans ]O ;+∞[ avec alneA⟹lnx>A donc limx→+∞lnx=+∞
En 0 : on pose X=1x donc limx→0x>0X=+∞ donclimX→+∞lnX=+∞d’où limx⟶0x>0lnX=+∞ (par composée) donc limx⟶0x>0-lnX=-∞
or lnx=-ln1X=-lnX donc limx⟶0x>0lnx=0

« dérivabilité de lnx »
La continuité est admise. On mq lnx est dérivable et que ln'x=1x
Soit aЄℝ+ et a+h Є ]0 ;+∞[ ; Ta de ln entre a et a+h ⟶ Ta(h)=lna+h-lnah il suffit de montrer que limh→0Ta=1h
On pose b=lna et k=ln(a+h), quand h→0 (a+h) tend vers a donc k tend vers b (car lnest continue en a)
Or h=a+h-a= ek-eb d’où Ta(h)= k-bek-eb=1ek-ebk-b Or ek-ebk-b est la Ta de la fonction exp entre k et b. Or la fonction exp est dérivable sur R donc en b et exp’x=expx donc limk→bek-ebk-b=eb=elna=a. Donc limk→bk-bek-eb=limk→b1ek-ebk-b= 1eb=1a D’où limh→0Ta=1a . Lnx est dérivable et ln’x=1x CQFD

« (lnu)’= u'u »
(ln°u)’=ln’(u)×u'=1u×u'=u'u.

« si u(x)>0 alors une primitivede u'u est lnu et si u(x)0 pour tout x de I: alors lnu est dérivable sur I et (lnu)’= u'u Donc lnu est une primitive de u'u sur I
Si u(x)0X=-∞ or xlnx=eXXet limX→-∞eXX=0 par croissance comparée
Donc limx→0x>0xlnx=0
En0 : méthode 2 : avec limx→+∞lnxx=0 ; on pose X=1x donc x=1X. limx→0x>0X=+∞ or xlnx=1Xln1X=-lnXX.
Or limX→+∞lnXX=0alors limX→+∞-lnXX=0d’où limx→0x>0xlnx=0

Les complexes...
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