Flocon de koch

Pages: 5 (1108 mots) Publié le: 16 décembre 2012
Exercice 1 : Le flocon de Koch 1. Etude du nombre de côtés 1) C 1 est le nombre de segments à la première étape donc C 1 = 3 . D’après la figure du livre on a C 2 = 12 et C 3 = 48 . A chaque itération chaque segment est transformé en 4 segments par conséquent on a : C 4 = 4×48 = 192 .

2. Etude du périmètre

2) A chaque itération chaque segment est transformé en 4 segments par conséquent on a,pour tout entier n : C n+1 = 4×C n . La suite (C n )n 1 est donc géométrique de raison 4. On a ainsi, pour tour entier n : C n = C 1 ×(4)n−1 = 3×4n−1 .

1) Puisque la transformation transforme 1 segment en 4 segments de même longueur et que les 3 segments de départ sont de même longueur les segments ont tous la même longueur à l’étape n. On peut donc parler de la longueur d’ un segment à l’étapen . 1 2) La transformation transforme un segment en 4 segments de longueur du segment originel. 3 1 Par conséquent on a, pour tout entier n : u n+1 = ×u n . 3 1 La suite (u n )n 1 est ainsi géométrique de raison . 3 1 n−1 1 1 On peut donc écrire u n = u 1 × = 1× n−1 = n−1 . 3 3 3 3) A l’étape n le flocon est composé de C n segments de longueurs u n . 1 4 n−1 . On obtient donc P n = C n ×u n =3×4n−1 × n−1 = 3× 3 3 Ce qui est bien la formule demandée. 4) On nous demande de déterminer, si elle existe, lim P n .
n→+∞

Or (P n ) est une suite géométrique de raison supérieure à 1 et de premier terme positif par conséquent lim P n = +∞ .
n→+∞

3. Etude de l’aire 1) Pour calculer A 1 il nous faut déterminer la hauteur h dans le triange équilatéral de côté 1. Cette hauteur est aussi médiatricedans ce triangle car il est équilatéral. On peut donc appliquer le 1 2 2 1 3 théorème de Pythagore dans le triangle rectangle ainsi formé : 12 = +h puis h 2 = 1− = et 2 4 4 3 . enfin h = 2 3 1 ×h = . On a ainsi A 1 = 2 4
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Année 2007-2008

1ère S SVT

2) Par proportionnalité un triangle équilatéral de côté a a une hauteur de longueur comme aire a× a 2 3 = a2×

a 3 et donc 2

2La différence A n+1 − A n quent il suit que

3 . 4 correspond à l’aire des C n triangles équilatéraux de côté u n+1 par consé2

A n+1 − A n = C n × u n+1 × = 3×4n−1 × = 3×4n−1 × 1 3n

3 4
2

×

3 4

1 3 × 32n 4 n 3 1 = 3×4n−1 × 2 × 3 4 3 n−1 1 ×4 × 4 9n 3 3 1 4 n−1 × × = 4 9 9 =3 = 3 4 × 12 9
n−1

3) On remarque que la somme (A n − A n−1 ) + · · · + (A 2 − A 1 ) est une sommetélescopique donc on a 3 (A n − A n−1 ) + · · · + (A 2 − A 1 ) = A n − A 1 = A n − . 4 D’après l’expression trouvée de A n+1 − A n on voit que la suite A n − A n−1 est une suite géomé3 4 et de premier terme A 2 − A 1 = . trique de raison 9 12 La somme ainsi demandée est donc la somme des n − 1 premiers termes de la suite géométrique (A n − A n−1 ) : Attention à ne pas se tromper sur les indices, pourêtre sûr de sa valeur on vérifie que pour n = 3 on a bien le bon nombre de termes, à savoir 2 qui sont A 3 − A 2 et A 2 − A 1 , ce qui est le cas. 3 1− 9 × (A n − A n−1 ) + · · · + (A 2 − A 1 ) = 12 1− 4 9 3 1− × = 12 = = De ce qui précéde on déduit donc pour n et donc An = 2: An −
4 n−1

4 n−1 9 5 9 n−1

3 9 4 × × 1− 12 5 9 4 3 3 1− 20 9

n−1

4 3 3 3 = 1− 4 20 9

n−1

4 n−1 3 3 3 1− . +4 20 9 4) On nous demande de déterminer, si elle existe, lim A n .
n→+∞

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Année 2007-2008

1ère S SVT

4 n−1 4 = 0 puis, par somme et produit de limites, est comprise entre −1 et 1 on a lim n→+∞ 9 9 3 3 3 5 3 3 3 2 3 lim A n = + ×1 = + c’est-à-dire lim A n = . n→+∞ n→+∞ 4 20 20 20 5 A l’étape +∞ on obtiendrait donc une figure qui aurait un bord infini mais une aire finie, c’est unefractale. Puisque Exercice 2 : Comportement asymptotique 1) On trace la courbe C f et on place les points A 0 , A 2 , A 4 , A 6 et A 8 .
5 4 3 2 1

y =2 A4 Cf A2
1 2 3 4 5 6 7 8 9

A6

A8

−1

O
−1 A 0 −2

2) On a u n = f (n) =

2n − 1 . n +1 1 1 2− n 2n − 1 n 2 − n ce qui est bien l’expression voulue. 3) On réécrit u n : u n = = = 1 1 n +1 n 1+ n 1+ n 1 = 0 donc par...
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