Fonction
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PLAN I : Fonctions exponentielles 1) Exponentielles et logarithmes 2) Fonctions trigonométriques hyperboliques 3) Réciproques des fonctions hyperboliques II : Fonctions circulaires 1) Fonctions trigonométriques 2) Réciproque des fonctions trigonométriques Annexe : trigonométrie I : Fonctions exponentielles 1– Exponentielles et logarithmes 1 u ln(x) est la primitive de définie sur ]0, +∞[ et s'annulant en x = 1. Autrement dit : x x 1 ln(x) = ⌠ t dt ⌡
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1 Sa dérivée étant strictement positive, ln est donc strictement croissante. La dérivée de ln(ax) valant x a 1 = , ln(ax) est égal à ln(x) + Cte. La valeur de Cte est obtenue en prenant x = 1, ce qui donne la ax x relation célèbre : ln(ax) = ln(x) + ln(a) Cette relation, transformant produit en somme, a permis, depuis le XVIIème et jusqu'à l'introduction des calculatrices à bas prix vers 1980 à accélérer notablement les possibilités de calcul des mathématiciens. Ainsi Laplace s'émerveille-t-il "des logarithmes, admirable instrument, qui, en réduisant à quelques heures le travail de plusieurs mois, double si l'on peut dire la vie des astronomes, et leur épargne les erreurs et les dégoûts inséparables des longs calculs". En prenant 1 a = , on obtient : x 1 ln( ) = – ln(x) x Etant strictement croissante, ou bien lim ln(x) = +∞ ou bien lim ln(x) = l limite finie. x → +∞ x → +∞ Comme, pour n entier, ln(2n) = nln(2) (récurrence facile) et que cette quantité tend