fonctions affines

Fonctions affines par morceaux

Année scolaire 2006/2007

Table des matières
1 Fonctions affines par morceaux

2

1.1

Définition – Représentation graphique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.2

Un cas particulier important : fonctions valeur absolue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

2 Interpolation linéaire

6

Tabledes figures
1

Un exemple de fonction affine par morceaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

2

Fonction valeur absolue de x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

3

Fonction x −→ |2x + 1|

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

4

Fonction x −→ |3 − 2x|. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

5

Fonction x −→ |2x + 1| + |3 − 2x| . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

6

Interpolation linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1

1

FONCTIONS AFFINES PAR MORCEAUX

En préliminaire :Exercices : A1 et B2 page 332 [Déclic]
Activités : Activités 13 et 24 (feuille polycopiée)

1

Fonctions affines par morceaux

1.1

Définition – Représentation graphique

Définition : On dit que la fonction f est une fonction affine par morceaux si son ensemble de définition est
la réunion d’un nombre fini d’intervalles sur lesquels f coïncide avec une fonction affine.
Exemple :
Soit f lafonction définie sur [−2 ; 5[ par :


f (x) = 3
f (x) = −3x + 6


f (x) = x − 6

si − 2 ≤ x < 1
si 1 ≤ x < 3
si 3 ≤ x < 5

Méthode : On commence par tracer les 3 fonctions affines x −→ 3 ; x −→ −3x + 6 et x −→ x − 6 et on
ne garde que les parties des droites correspondantes aux intervalles données.
– Fonction x −→ 3 :
Il s’agit d’une fonction constante, représentée par unedroite parallèle à l’axe des abscisses. On ne garde
que la partie de la droite telle que 2 ≤ x < 1 (voir figure 1).
– Fonction x −→ −3x + 6 :
∆y
L’ordonnée à l’origine est 6. Le coefficient directeur est a = −3 = −3
1 = ∆x , donc on avance de ∆x =1
unités et on monte de ∆y = −3 unités (donc, on descend de 3 unités...).On ne garde que la partie de la
droite telle que 1 ≤ x < 3 (voir figure 1).On peut remarquer que les deux droites se « raccordent » en x = 1.
– Fonction x −→ x − 6 :
∆y
L’ordonnée à l’origine est −6. Le coefficient directeur est a = 1 = 11 = ∆x
, donc on avance de ∆x =1
unités et on monte de ∆y = 1 unités .On ne garde que la partie de la droite telle que 3 ≤ x < 5 (voir
figure 1).
On peut remarquer que les deux droites se « raccordent » en x = 3.
Propriété : Lereprésentation graphique d’une fonction affine par morceaux est formée d’une réunion de segments ou de demi-droites.
Remarques :
1. Les segments de droites ne se « raccordent » pas nécessairement. La représentation graphique d’une
fonction affine par morceaux peut présenter des discontinuités (voir exercices).
2. Pour retrouver une fonction affine par morceaux à partir de sa représentationgraphique, on commence
par déterminer les intervalles sur lesquels on a un segment (ou une demi-droite) puis on détermine
une équation de chacun (voir Activité 2).
Exercices : 4 page 3375 – 6, 7 page 3376 – 18, 19 page 3397 –23, 25, 26 page 340 et 29 page 3418 [Déclic]
Modules : Impôt sur le revenu (page 336 et exercice 31 page 342 [Déclic]) et Courbe de Lorenz (exercice 30
page 341 [Déclic])91 Fonctions

affines.
d’une fonction affine.
3 Fonctions affines par morceaux.
4 De la courbe à la fonction.
5 Vrai-Faux.
6 Tracé de fonctions affines par morceaux.
7 Détermination à partir du graphique.
8 Applications concrètes.
9 Utilisation d’un tableur.
2 Représentation

2

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FONCTIONS AFFINES PAR MORCEAUX

1.2 Un cas particulier important : fonctions valeur absolue...